[分析] x^(-1/2)在[0,1]是可積的嗎?

看板Math作者 (パイナップル)時間14年前 (2011/05/25 16:53), 編輯推噓0(0推 0噓 7→)
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如題 我們定義被積的函數在0點值為0 如果用Riemann integration原本的定義 應該是不可積的 因為x^(-1/2)在0的neighborhood是unbounded 所以任何partition的upper sum都會是infinity 可是如果從反倒數來算 先算x^(-1/2)在[1/n,1]的積分值 也就是2-2 √(1/n) 然後讓n跑到無窮大 又能得出一個"2"的值 想請問這中間有什麼矛盾的地方嗎? 而lesbegue integration的情況又如何呢? 我想應該是可以積而且積出來是2吧 用Levi's theorem就可以嘞 想請問有沒有哪裡錯誤的嗎? 謝謝! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 210.69.35.10 ※ 編輯: bineapple 來自: 210.69.35.10 (05/25 17:04)
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05/25 17:23, , 1F
黎曼積分本來就是定義在bounded的函數上的
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一個函數沒bounded請用瑕積分來看。
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05/25 19:15, , 3F
所以這個case在瑕積分的情形下是有定義的囉?
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05/26 01:45, , 4F
其實我不久前才犯下跟你一樣的錯誤想法XD
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05/26 01:45, , 5F
我考慮一個有oscillation-cancellation的瑕積分
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(比如說Dirichlet積分) 然後去partiton[0,無窮)後
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取正的值的部分相加 然後就爆炸了XD
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