[中學] 組合的整除問題

看板Math作者 (ZC)時間15年前 (2011/03/12 01:39), 編輯推噓4(4推 0噓 6→)
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問題如下 : 大家都知道 C (A+N)取N一定是正整數 (N為正整數,A為大於等於0的整數) 所以 (A+N)! / (N!*(A+N-N)!) 必定會整除 ===> (A+N)! / (N!*A!) 必定會整除 ===> (A+N)*(A+N-1)*(A+N-2)*...*(A+3)*(A+2)*(A+1) / N! 必定會整除 以上是我發現問題的經過...希望沒有錯誤... 換個方法問...就是請證明 "連續N個正整數相乘必定整除N階" 請不要告訴我因為C (A+N)取N必為整數所以得證XD 感謝各位 m(_._)m -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.44.209.201 ※ 編輯: zergcho 來自: 114.44.209.201 (03/12 01:39)
推
03/12 01:49, , 1F
連續N個正整數相乘必定被N階整除
03/12 01:49, 1F
→
03/12 03:01, , 2F
連續N個正整數中必有一個N的倍數
03/12 03:01, 2F
推
03/12 05:48, , 3F
記 P(A,N)=(A+1)*....*(A+N)
03/12 05:48, 3F
→
03/12 05:49, , 4F
則有 P(A+1,N)-P(A,N)= N*P(A+1,N-1)
03/12 05:49, 4F
→
03/12 05:49, , 5F
根據 N 的歸納假設知 (N-1)! 整除 P(A+1,N-1)
03/12 05:49, 5F
→
03/12 05:50, , 6F
根據 A 的歸納假設知 N! 整除 P(A,N)
03/12 05:50, 6F
→
03/12 05:50, , 7F
所以我們得到 N! 整除 P(A+1,N)
03/12 05:50, 7F
推
03/12 05:54, , 8F
這裡的歸納法是 先固定N 去做所有A 然後再跳到下個N
03/12 05:54, 8F
→
03/12 05:54, , 9F
就好像我們小時候打掃樓梯那樣
03/12 05:54, 9F
推
03/12 10:45, , 10F
推掃樓梯
03/12 10:45, 10F
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