Re: [代數] internal direct product
※ 引述《hotplushot (熱加熱)》之銘言：
: H×K是(internal) direct product
: 如何說明 H×e=H (e是單位元素)
是 internal 的 因此我們假設 H,K < G ( < 代表子群)
HxK = HK (不過要符合 direct product 的定義,
簡單來說, H,K normal in G 且 H∩K = <e>)
因此 H<e> = {he| h in H} = H
但若是 exterior 的 則要用 isomorphic 也就是說
若 H,K 是兩個群, 且 e,e' 個別是 H,K 的單位元素
考慮 π: Hx<e'> -> H, π(h,k) = h
不難驗證 π 是 homomorphism,
onto是顯然的, 也就是說 任取 h in H, 我們只要用 π(h,e') = h,
1-1: 若 π(h,k) = h = e
但 <e'>中只有 e' 因此 (h,k) = (e,e') 此為 HxK 的 單位元
因此 kerπ 是 trivial, 故 π 是 isomorphism.
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推
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