[微積] 複數

看板Math作者 (Enstchuldigung~)時間15年前 (2011/02/27 17:20), 編輯推噓6(6推 0噓 14→)
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lnz z = e 成立嗎? z 這個呢 z = ln e 成立嗎?? lnz 我的想法是， z = 0 , 對於 lnz 是分支點，故 z = e 不成立 z z 另外， ln e 的 z 不管多少， e ≠ 0 ，所以不會是多值函數。 lnz 可是卻發現書本上 z = e 是對的= =... 難道用我的經驗判斷分支點不能嗎@@? 還是說分支點都要重新判斷是不是?? lnz 例如 lnz , z = 0 分支點，but e , z = 0 不是分支點 好困惑@@ -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.45.248.79
推
02/27 19:02, , 1F
在定義 ln(z) 的時候已經考慮一個 branch..
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02/27 19:03, , 2F
而且 ln(z) 的分支點不只有 0, 應該至少要挖掉一條線
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02/27 19:23, , 3F
要怎麼看他已經定義一個branch呢?
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推
02/27 20:36, , 4F
通常是隨便挖掉一條以0為起點射線當作branch
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02/27 20:36, , 5F
當然有些奇妙的定義域是要挖掉一條算是曲線
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02/27 20:37, , 6F
有個定理是，你選定一個branch你就可以造出一個lnz
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02/27 20:38, , 7F
同理也可以造出ln f(z),f在branch上面解析
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(如果我沒記錯的話QQ，我現在也在修)
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02/27 20:39, , 9F
那個定理的描述是找到一個函數g 使得 z=e^g(z)
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02/27 20:40, , 10F
所以只要選定branch z=e^lnz應該都是對的
02/27 20:40, 10F
推
02/27 20:45, , 11F
ln e^z=ln e^x+iy+2\pi*i=x+iy+2\pi*i=z+2\pi*i
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02/27 20:46, , 12F
如果有選定(比方說principle branch)應該既可以讓
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z=ln e^z是對的吧
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02/27 21:34, , 14F
可是如果沒選branch就變成多值了吧~
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推
02/27 22:02, , 15F
可是如果沒有定義branch的話　lnz是沒有辦法定義的？
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02/27 22:03, , 16F
因為從兩個方向靠近的話極限會不同
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推
02/27 22:05, , 17F
不過那好像是為了讓他有連續性的關係?
02/27 22:05, 17F
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02/27 22:11, , 18F
你說從分支線的左右極限逼近嗎?
02/27 22:11, 18F
推
02/27 22:12, , 19F
恩
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02/27 22:12, , 20F
應該說上下比如說原本要扣掉負x軸
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