[分析] Dirichlet test

看板Math作者 (wuxr)時間15年前 (2011/01/18 22:33), 編輯推噓4(4推 0噓 17→)
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請教各位先進 瑕積分∫f*g 收斂的Dirichlet Test 和無窮級數 Σf(n)g(n) 收斂的Dirichlet Test 有相似的地方, 請問可否用級數的Dirichlet Test去證明當瑕積分∫f*g 滿足 ∫f uniformly bounded g monotone lim g(x)=0 as x →∞ 則∫f*g收斂 ps: 上述積分皆為0到無窮大 thanks a lot^^ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 122.147.29.109
推
01/18 22:37, , 1F
可~類似地, Abel test 也是一樣的>
01/18 22:37, 1F
→
01/18 22:59, , 2F
M大 可以提示我一下嗎?
01/18 22:59, 2F
→
01/18 23:00, , 3F
提示什麼? 你要證明? 還是敘述?
01/18 23:00, 3F
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01/18 23:01, , 4F
你要 Dirichlet or Abel?
01/18 23:01, 4F
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01/18 23:56, , 5F
dirichlet, 先提示我一下概略的證明, 我自己做做看
01/18 23:56, 5F
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01/18 23:57, , 6F
感謝您
01/18 23:57, 6F
推
01/18 23:58, , 7F
積分 MVT.
01/18 23:58, 7F
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01/19 00:20, , 8F
M大, 積分MVT不是要函數連續嗎?
01/19 00:20, 8F
推
01/19 00:34, , 9F
不需要. 或許我應該說:積分第二均值定理.
01/19 00:34, 9F
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01/19 00:35, , 10F
陳述如下:命 f, g 為定義在 [a,b] 上之函數.
01/19 00:35, 10F
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01/19 00:37, , 11F
若 (1) f 為非負單調遞減之函數. 且 (2) g 黎曼可積.
01/19 00:37, 11F
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01/19 00:37, , 12F
則存在一點 c in [a,b] 使得 S_[a,b] f(x) g(x) dx
01/19 00:37, 12F
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01/19 00:38, , 13F
= f(a) S_[a,c] g(x) dx.
01/19 00:38, 13F
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01/19 00:39, , 14F
最出名的例子: (也稱為 Dirichlet 積分)
01/19 00:39, 14F
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01/19 00:40, , 15F
S_[0,oo] sinx/x dx 的收斂性證明:
01/19 00:40, 15F
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01/19 00:41, , 16F
考慮 S_[p,q] sinx/x dx =MVT= 1/p S_[p,r] sinx dx
01/19 00:41, 16F
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01/19 00:42, , 17F
= (-1/p)*(cos r - cos x) -> 0 as p -> oo.
01/19 00:42, 17F
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01/19 00:43, , 18F
你如果看懂這個例子的証明, 你應該會證明 Dirichlet
01/19 00:43, 18F
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01/19 00:43, , 19F
test for integral. 同樣地, Abel test for integral
01/19 00:43, 19F
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01/19 00:43, , 20F
也是類似.
01/19 00:43, 20F
推
01/19 11:19, , 21F
= (1/p)*(cos p - cos r) -> 0 as p -> oo.
01/19 11:19, 21F
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