[微積] 有關一題PDE的證明
題目：http://0rz.tw/GaYVD
題目中 L1u 和 L2u 為兩個一階的偏微分方程式
(a)小題要證明 "當 L1w2=L2w1 時，L1u=w1 和 L2u=w2 有一個 common solution"
這題應該比較沒有問題
(b)小題則是要證明 "當 L1u1=0 且 L2u2=0 時，L1L2u=0 的 general solution
為 u=u1+u2 的型式"
我的疑問是：
(b)小題要說明 u1+u2 為 L1L2u=0 的解很容易
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L1L2(u1+u2)=L1L2u1 + L1L2u2
=L2(L1u1) + L1(L2u2)
=L2(0) + L1(0)
=0
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但卻不知該從何處切入 L1L2u=0 的 general solution 就是 u1+u2 的型式
目前覺得應該由 wave equation 的 general solution 下手
因 wave equation 可以轉換成 d^2u/(dXdY)=0 的型式
故其 general solution 便可表示為 F(X)+G(Y)
不過這題又沒辦法換到如同 wave equation 那樣簡單的型式
所以想拜託板上的高手們指點一下
該從哪個角度切入證明較好？
在這邊先謝謝大家了!!
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