Re: [中學] 0^(1/2) 與 (-1)^(1/2) 無意義的理由？

看板Math作者 (大雄)時間15年前 (2011/01/03 22:38), 編輯推噓12(12推 0噓 17→)
留言29則, 7人參與, 最新討論串1/1
※ 引述《iddee (人生失敗組)》之銘言： : 作了一份台南女中高一上的期末考卷， : 其中填空題有兩題是： : 0^(1/2) = ________ : (-1)^(1/2) = ________ (ps. 另一格的 √(-1) 答案就是 i 了) : 若無意義請打 X，兩格都是 X。 : 請問這是高中數學課本上的定義嗎？(手上無書) : 因為我只記得只有 0^0 才規定成無意義。 : 還是有其他邏輯上的理由呢？(想問說為啥 0^(1/2) 不能填 0) 我對第二題的想法是這樣，請各位看看有沒有問題 (-1)^(1/2)的話，我會把-1看成cos(π+2kπ)+isin(π+2kπ)，k=0 or 1 所以(-1)^(1/2) =cos((π+2kπ)/2)+isin((π+2kπ)/2) =cos(π/2)+isin(π/2) or cos(3π/2)+isin(3π/2) =i or -i 等等...我寫完才發現我是在求-1的平方根 所以順便問一下，對於正實數的1/2次方一般是取正的(例如4^(1/2)=2) 那負實數的1/2次方呢? 是跟√的定義一樣取虛部為正嗎? 總覺得兩題都說無意義還是有點怪怪的，因為我覺得兩題都有定義 但是該如何定義非正實數的1/2次方? 請各位幫我看看，謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.32.118.196
推
01/03 23:06, , 1F
指數為分數, 底數要恆正
01/03 23:06, 1F
推
01/03 23:27, , 2F
-1 = (-1)^1 = (-1)^(2* 1/2) = ((-1)^2)^(1/2) =
01/03 23:27, 2F
→
01/03 23:28, , 3F
1^(1/2) = 1
01/03 23:28, 3F
→
01/03 23:28, , 4F
以上例子說明 ^(1/2) 不能只取正
01/03 23:28, 4F
推
01/03 23:51, , 5F
就是因為不唯一囉~ 所以要有限制
01/03 23:51, 5F
→
01/03 23:53, , 6F
分數指數律就是為了避免上述情形,才規定底數非負....
01/03 23:53, 6F
推
01/04 00:23, , 7F
看到這個腦中都是複變= =
01/04 00:23, 7F
真的耶...剛剛去翻課本，在討論整數指數的時候，底數可以為負 但是一討論到指數為有理數或實數之後，底數就不討論負數了 謝謝各位的解說 ※ 編輯: secjmy 來自: 114.32.118.196 (01/04 00:57)
推
01/04 01:02, , 8F
我怎麼覺得1樓的說法沒有直接說明到題目？
01/04 01:02, 8F
→
01/04 01:03, , 9F
雖然觀念上是一樣的
01/04 01:03, 9F
→
01/04 01:04, , 10F
(-1)^(1/2) = (-1)^(2/4) = ((-1)^2)^(1/4)
01/04 01:04, 10F
→
01/04 01:07, , 11F
= 1^(1/4) = 1 為實數
01/04 01:07, 11F
→
01/04 01:08, , 12F
而(-1)^(1/2)為根號-1　為i　是虛數　矛盾
01/04 01:08, 12F
推
01/04 01:11, , 13F
該是虛數的東西經過指數律運算以後變成實數　矛盾
01/04 01:11, 13F
推
01/04 01:29, , 14F
(-1)^(1/2)直接就無意義了, 不會與根號-1相等
01/04 01:29, 14F
→
01/04 01:29, , 15F
也不會變成虛數單位i
01/04 01:29, 15F
→
01/04 01:30, , 16F
我講的指數為分數, 底數要恆正是規定
01/04 01:30, 16F
→
01/04 01:30, , 17F
所以第一小題跟第二小題以0跟-1為底數都是違反規定
01/04 01:30, 17F
→
01/04 01:31, , 18F
但是另外一題根號-1 就是你我熟悉的虛數單位i了
01/04 01:31, 18F
→
01/04 01:32, , 19F
違反規定的那兩小題有看過規定定義的一看到就打x
01/04 01:32, 19F
→
01/04 01:34, , 20F
至於為何要這樣規定, 高中比較好的講解方法就是new大
01/04 01:34, 20F
→
01/04 01:34, , 21F
跟您所提供的-1=1這個式子
01/04 01:34, 21F
推
01/04 01:41, , 22F
不過Jolin大好像把-1=1為實數當做正確的繼續往下說明
01/04 01:41, 22F
推
01/04 13:40, , 23F
1^(1/4) = -1 or 1 or -i or i
01/04 13:40, 23F
謝謝以上各位的解說 關於(-1)^(1/2)無意義的原因我比較了解了 我比較不了解為什麼0^(1/2)沒有意義? 所以我想請問應該用什麼方法來解釋0^(1/2)無意義 ※ 編輯: secjmy 來自: 114.32.118.196 (01/04 20:13)
推
01/04 22:35, , 24F
在指數從自然數擴大到整數時, 底數0就已經出局了
01/04 22:35, 24F
→
01/04 22:36, , 25F
所以從整數再擴大到有理數時, 底數當然也沒有0
01/04 22:36, 25F
0^(-1)=(0^1)/(0^2)=0/0=無意義 是像這樣子嗎? ※ 編輯: secjmy 來自: 114.32.118.196 (01/04 23:31)
推
01/05 00:18, , 26F
0^(-1)=0^1再取倒數, 所以無意義
01/05 00:18, 26F
推
01/05 02:14, , 27F
0^n = 0 , when n>0 , when n<0 0^n=undefined
01/05 02:14, 27F
→
01/07 19:46, , 28F
高中數學課本裡 似乎沒有寫"a^(1/2)無意義 a<=0時"
01/07 19:46, 28F
→
01/07 20:00, , 29F
定義是寫 a>0時 √a=a^(1/2)
01/07 20:00, 29F
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