[線代]矩陣運算

看板Math作者 (momomo)時間15年前 (2010/12/25 15:29), 編輯推噓1(1推 0噓 6→)
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Let A ba an m by n matrix with m<n. Show that det(A^tA)=0 A^t為A的轉置。 我一開始是想到... A^tA為一個n by n的方陣 其rank 小於或等於 n 而A的rank 小於或等於 m 接下來就不知道怎麼去算了ˊˋ... 因為我想既然行列式值為零 表示此矩陣不可逆 其rank必不為滿秩... 但是想不到如何得證rank(A^tA)<n 請各位教教小弟!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.227.198.72
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12/25 15:43, , 1F
rank(A^tA)<=rank(A)<=m
12/25 15:43, 1F
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12/25 17:53, , 2F
請問為什麼rank(A^tA)<=rank(A)?
12/25 17:53, 2F
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12/25 21:05, , 3F
看成兩次線性映射 f:x-->Ax g:x-->A^tx
12/25 21:05, 3F
推
12/25 23:31, , 4F
Since rank(A^tA)<=rank(A^t) and <=rank(A)
12/25 23:31, 4F
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12/25 23:32, , 5F
(theorem) rank(A^t)=rank(A)<=m (m<n)
12/25 23:32, 5F
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12/25 23:34, , 6F
so rank(A^tA)<=rank(A)=rank(A^t)<=m"<"n iff
12/25 23:34, 6F
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12/25 23:34, , 7F
det(A^tA)=0.
12/25 23:34, 7F
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