Re: [微積] 是否有f滿足f_xy(a,b)=f_yx(a,b)但是f꘠…
※ 引述《k6416337 (とある煞氣の光希)》之銘言：
: 這是之前我同學問我的問題
: 微積分裡有一個定理是說一個雙變數實值函數f(x,y)在一個集合D上有定義，(a,b)屬於D
: 且f_xy,f_yx在(a,b)上是連續，則我們就可以交換順序，也就是f_xy(a,b)=f_yx(a,b)。
: 這個定理中，前提並沒有要求到f在那一點連續，所以我們就想說是否有例子，不過找半
: 天都找不到，所以想來這邊問是否有這樣的例子?感謝
從 Rudin: Principles of Mathematical Analysis 第九章的證明出發：
設 (a,b) = (0,0). 不失一般性，考慮 f, f_x, f_y 在 (0,0) 處為 0.
(將 f 以 f - f(0,0) - f_x(0,0) * x - f_y(0,0) * y 代替即可)
令 D(x,y) = f(x,y) - f(x,0) - f(0,y) + f(0,0)
= f(x,y) - [f(x,0)-f(0,0)] - [f(0,y)-f(0,0)] - f(0,0).
及 g(x) = f(x,y) - f(x,0)
則 D(x,y) = g(x) - g(0)
= x * g'(t)
= x * [ f_x(t,y) - f_x(t,0) ]
= x * y * f_xy(t,s).
因為 f_xy 在 (0,0) 連續，所以在附近有界，故 |D(x,y)| <= M * |xy|.
又 |f(x,0) - f(0,0)| <= M * |x|, |f(0,y) - f(0,0)| <= M *|y|,
(偏導數 f_x, f_y 在 (0,0) 存在即可.)
所以 |f(x,y) - f(0,0)| <= M * (|xy| + |x| + |y|)，故 f 在 (0,0) 連續,
Q.E.D.
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廢話這麼多，還不就是為了撈 P 幣 :q
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