[機統] Monty Hall三門問題結論 (with proof)

看板Math作者hectorhsu (The Hector)時間16年前 (2010/01/17 12:08)推噓1(1推 0噓 14→)

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請注意命題.. 原題：參賽者看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊，主持人是知道哪一扇門後面有汽車的。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇參賽者贏得汽車的機率？沒特別說明的條件都是隨機的。（亦即假設設置時汽車在每一扇門後面的機率均等，且若參賽者一開始就選到汽車，主持人打開剩下兩扇門的機率均等。）修改後題目：參賽者看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊，主持人不知道哪一扇門後面有汽車的。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇（因為不知道哪一扇後面有汽車，故主持人機會均等地打開兩扇門的其中一扇），露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇參賽者贏得汽車的機率？沒特別說明的條件都是隨機的。（亦即假設設置時汽車在每一扇門後面的機率均等。） ---------------- 參考資料： http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf 這位教授的paper意思是說, 假設編號門 1,2,3 令事件 A = 車在門 1 後面 B = 車在門 2 後面 C = 車在門 3 後面 D = 主持人打開門 3 且假設 : P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 Proportional Principle 是說 P(A|D) = P(A&D)/P(D) P(B|D) = P(B&D)/P(D) P(C|D) = P(C&D)/P(D) 又 P(D|A) = P(A&D)/P(A) P(D|B) = P(B&D)/P(B) P(D|C) = P(C&D)/P(C) 所以 P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = P(D|A) : P(D|B) :P(D|C) ----------- 原題當你選門1 主持人開門3 P(D|A) = 1/2 基於"主持人隨機開二羊之一"的假設 P(D|B) = 1 必須開3因為2是車 P(D|C) = 0 不可以開到車所以所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1 : 0 normalize之後是 1/3 : 2/3 : 0 故換了會中的機率是 2/3 主持人不知道當你選門1 主持人開門3 P(D|A) = 1/2 因為1/2亂開且不會是車 P(D|B) = 1/2 因為他是亂開且3也沒車 P(D|C) = 0 不可以開到車與"開出來是羊" 所以所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1/2 : 0 故換了會中的機率是 1/2 若不知道主持人知不知道? 則 [1] 若主持人知道換有利 [2] 若不知道吃沒差 -> 當然換這是賽局xD

推

Lwms

01/17 01:44,

01/17 01:44

我覺得要討論的話就要寫出點東西= =a 原本我也很堅持啊數學國不會因為算錯而羞恥但是一輩子不確定答案想到就冷汗直流.. 非常歡迎各位提出反駁以上論證何處有瑕疵不要用"自己的對所以對方不對"來說另外我要強調這是我看來的我也沒認為這樣一定對 so 如果有人幫忙驗證或偵錯都非常好 -- 如果沒有末班車，我們就數著花瓣去旅行。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.221.64.64

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tw00088437

01/17 12:26, , 1^F

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hectorhsu

01/17 12:41, , 2^F

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hectorhsu

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