Re: [微積] The Mean Value Thm.

看板Math作者math1209 (.......................)時間16年前 (2010/01/07 16:03)推噓6(6推 0噓 12→)

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※ 引述《ib61632003 (北北)》之銘言： : 昨天有了一篇問均值定理的文章 : 但還是有些地方不懂 : google了一下MVT : 網路上有分成積分均值定理、微分均值定理 : 昨天有位大大說 : 在"某種假設底下" : 兩個是等價的 : 我的疑問是 : 兩個定理，從數學式，到幾何意義 : 都不相同 : 為什麼會會等價? : 是從什麼角度去看? : 還是說均值定理根本分成兩個定理微分MVT和積分MVT? : 因為課本上證明的時候如果引用MVT 他只會說根據MVT... : 有時候下面引用的是微分MVT 有時候是積分MVT : 感謝各位大大替我解答><" : 這個問題困擾我很久了當書本上提到了 MVT 時，那就得看書上在作什麼…較有善心的作者會寫的很明白。這一點其實你不用太困惑就是了…至於微分的 MVT 與積分的 MVT 為何我會在某種條件之下說等價? 這是基於微積分基本定理：他將微分與積分的世界聯繫起來了。以現在的意義來看，"平均指的是弱收斂 [這句話，看不懂就當作沒這回事…]". 現在我們來看看為何 " 微分的 MVT 與積分的 MVT 為何在某種條件之下是等價? " 假設函數 f 有很好的性質，例 f' 存在且連續於 [a,b] (緊緻區間). 給你兩個式子，你自行推敲，看不懂我們可以再討論討論… b (1) f(b) － f(a) ＝ ∫ f'(x) dx ＝ f'(c) (b － a). a x (2) Say F(x) ＝ ∫ f(t) dt, then a b ∫ f(t) dt ＝ F(b) － F(a) ＝ F'(c) (b － a) ＝ f(c) (b － a). a (1) 講的是積分 MVT 推得微分 MVT （看其首尾). (2) 講的是微分 MVT 推得積分 MVT （看其首尾). 在上述中你一定會用到微積分基本定理:換句話說微積分基本定理聯繫著積分與微分。這是一個信念：微分可以做出來得，積分也可以作出來。反之亦然…當然這時候給予的條件就得非常好才行。舉個例子吧: 微分世界積分世界【線性 Linearity】【線性 Linearity】 (αf＋βg)'＝αf'＋βg' ∫αf(x)＋βg(x) dx ＝α∫f(x) dx＋β∫g(x)dx 【乘法規則 Rule of Multiplication】【分部積分 Integration by parts】 (f‧g)'＝f'g ＋ gf' ∫ f(x) dg(x) ＝f(x)g(x)－∫g(x)df(x) 【鏈鎖率 Chain Rule】【變數變換 Change of Variable】 ( f( g(x) ) )'＝f'(g(x))‧g'(x) ∫ f( g(x) ) d(g(x)) ＝ ∫f( g(x) ) g'(x) dx ＝ ∫f(u) du -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. -- ※ 編輯: math1209 來自: 220.133.4.14 (01/07 16:11)

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