Re: [微積] dx為什麼不能當作分母?
※ 引述《CombatSniper (苦難已經結束 光明正到來)》之銘言：
: 之前在板上問過
: ∫(1/dx)
: 有人給我回答是不存在的
: 那請問一下
: 為何沒有這樣的寫法呢
: 因為dx不是可以運算的量嗎?
: 例如 x=uv,dx=u dv+v du
先想一下當初∫f(x) dx是怎麼導過來的。
在一開始教積分的時候，
課本大多數都是從Σf(c_i)△x開始講起的吧。
這個式子的意思是說，假設現在是要求在[a,b]之間，
曲線f(x)以下、x軸以上這塊區域的近似面積，
那麼以f(c_i)為高度，△x為寬度，其中i=1,2,3,...,n，
總共可以作出 n個長方形。
把f(c_1)．△x跟f(c_2)．△x跟......f(c_n)．△x全部加起來，
就是Σf(c_i)△x了。
但是這個面積畢竟只是近似面積而已，不是實際面積。
所以我們想像這裡的△x（長方形的寬）可以趨近於無限小，
一直小小小小到上和與下和的極限處，就得到
區間[a,b]之間，曲線f(x)以下、x軸以上這塊區域的實際面積了。
故我們定義 lim Σf(c_i)△x = ∫f(x) dx ，其中dx表示無限小的量。
∥△∥→0
這裡應該都是課本上曾出現過的東西。
所以，dx固然可以計算，但他是作為無限細長的長方形的寬。
我們計算長方形的面積的時候，總不會是用「長．(1/寬)」來算吧。
我們定義「長．寬」才是長方形的面積啊。
∫f(x)dx 的意義事實上就同於：
f(x) dx
把無限多個無限細長的「長 乘以 寬」統統加在一起的意思。
（↑這裡的寬要無限小）
「長．(1/寬)」也許可以定義出某些東西，
但不是我們一般使用上的積分..........
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在其他情況下，
或許有兩個或兩個以上變數的無限小量出現在同一個積分式的情況發生，
其中的某個或某些變數的無限小量確實有可能當作分母存在。
例如你可能會遇到這個式子：
b dx dy
∫F．dr = ∫[ f_x ─ + f_y ─ ] dt
a dt dt
當中就有變數t的無限小量dt作為分母存在的情況。（其中 F , r 為向量）
不過這有點離題了。
單變數函數的無限小量dx不能放在分母的理由已經在上面回答。
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◆ From: 218.166.21.38
※ 編輯: calvin4 來自: 218.166.21.38 (07/28 23:01)
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