Re: [代數] 一題線代證明
※ 引述《uncry (有沒有那麼難拆。)》之銘言：
: ※ 引述《alexforme (鴻爺)》之銘言：
: : 請問tr(AB)=tr(BA)
: : 的詳細證明過程
: : 感謝各位的回答
: 若A, B都是nxn
: n n n n
: tr(AB) = Σ Σ aij bji = Σ Σ bji aij = tr(BA) done.
: i=1 j=1 j=1 i=1
我來把它推廣為非方陣的好了(較嚴謹,方陣只是此例特例)
A為m*n矩陣,B為n*m矩陣
此步驟相乘可以對調的原因
是因為做的是純量乘法具有交換性
而Σ對調則是因為加法交換性
^
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m m n | n m
tr(AB) = Σ (AB)ii = Σ Σ (A)ij (B)ji = Σ Σ (B)ji (A)ij
i=1 i=1 j=1 j=1 i=1
n
= Σ (BA)jj = tr(BA)
j=1
所以對任何矩陣都是OK的!但前提要是相乘起來為方陣!
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