Re: [代數]det(AB) = det(A)det(B)的數學歸納法証明
試試看這個
| A 0 |
先證明 detA detB = | |, 其中I是單位矩陣
|-I B |
證明order=2 成立
| a11 a12 0 0 | | 0 0 a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 |
| a21 a22 0 0 | = | 0 0 a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 |
| -1 0 b11 b12 | |-1 0 b11 b12 |
| 0 -1 b21 b22 | | 0 -1 b21 b22 |
由拉普拉斯展開可知道
|-1 0 | ．(-1)^(1+2+3+4) ． | a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 |
| 0 -1| | a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 |
後面那個行列式就是det(AB)
你可以假設n以前成立，證明n成立
同理你可以再弄一次n的
會變成 det(-I)． (-1)^p ．[ det(AB) ]
其中I是n階的，故行列式是(-1)^n
然後p = 1+2+...+n+(n+1)+....+2n = (1+2n)*n
所以可以知道-1的次方就是(2+2n)*n是偶數就可以幹掉了。
所以n就成立了！
如果全部寫出來大概手眼都會花掉！
※ 引述《willhunting (這些年來)》之銘言：
: 如題，請問要怎麼用數學歸納法証這個基本性質呢?
: 當然在2x2的時候硬展也很好得出來這個結論，不過
: 題目是暗示在2x2的時候把det(AB)拆成四個部份，
: 用2行列式僅某同行不等時相加可保留其他行不變
: 該不等行相加這個性質來作:
: 問題來了:
: 要證明3x3應該是可以利用這個性質去作，雖然要展成很多項(所以我也不確
: 定有沒有更好的作法)。但nxn的時候要怎麼寫呢??感謝先進賜教!!
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