Re: [計算] 請教一個代數問題...
※ 引述《jjia (小娃娃魚)》之銘言：
: 請問:
: 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) = 1/7
: 已知a, b, c 三數為質數...
: 試求 a^2 + b^2 + c^2 為何(求A的平方+B的平方+C的平方)....
: 求高手賜教...感激不盡!!
先假設如果三個都相等===>顯然不可能發生。
如果恰有兩個相等，不失一般性，假設a=b
則 1/2a+2/(a+c)=1/7 ，得到 7(5a+c)=2a(a+c)
所以a整除7(5a+c)。如果a整除5a+c就得到a整除c，由於兩個都是質數，得到a=c，
所以矛盾，於是a=7代入得到c=21不是質數，故三個質數都不相等。
不失一般性，假設a<b<c，則得到a+b≦a+c≦b+c
於是1/7< 3/(a+b) ===> a+b≦20 ====>a=2.3.5.7
所以 a= 2, b=3,5,7,11,13,17
a= 3, b=5,7,11,13,17
a= 5, b=7,11,13
a= 7, b=11,13
======> a+b=5,7,9,11,13,15,17,8,14,16,20,12,18
但是7(a+b)(a+c)+7(a+c)(b+c)+7(b+c)(a+b)=(a+b)(b+c)(c+a)
=====> 7(a+b)(a+b+2c)=(a+b-7)(a+c)(b+c)
所以a+b>7 所以(a,b)=(2,3),(2,5)是不可能的
而且若a+b是奇數的話，則左邊是奇數但右邊是偶數，矛盾，故a+b是偶數。
a+b=8,12,14,16,18,20
若a+b=8(此時a=3,b=5)======>112(c+4)=c^2+8c+15
兩邊mod3，得到 c+1=c^2+2c (mod3)
c^2+c=1 (mod3)====> c無解
若a+b=12(此時a=5,b=7)，得到 168(6+c)=5(c^2+12c+35)
======>c(5c-108)=833=7^2*17
既然c為質數，故無解
若a+b=14(此時a=3,b=11)======>196(7+c)=7(c^2+14c+33)
======>28(7+c)=c^2+14c+33
======>7整除c^2+5 不可能
若a+b=16，分兩種情況
a=5,b=11=====>224(8+c)=9(c^2+16c+55)
=====> 8+c= c^2+c (mod5)
=====> c^2=3 (mod 5) 不可能
a=3,b=13=====>224(8+c)=9(c^2+16c+39)
=====>c(9c-80)=1441=11*131
顯然若c為質數則必無解
若a+b=18
若a=5,b=13===>c(11c-54)=1553
但c≧17===>1553≧17*133 不可能
若a=7,b=11====>c(11c-54)=1421=7^2*29 顯然不可能
若a+b=20====>280(10+c)=13(c^2+20c+ab)
====>c(13c-20)=2800-13ab
若a=3,b=17=====>c(13c-20)=2137，但c≧19故不可能。
若a=7,b=13=====>c(13c-20)=1617，但c≧17故不可能。
所以根本沒有質數解。
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