Re: [代數] 有理係數方程式與無理根和復數根的關係?
不久前代數正好學到這個地方，我把有關的稍微整理一下。(順便複習...)
首先
對於實係數多項式f，以{z}表示z的共軛複數
證明 「{f(z)} = f({z})」(*) 是簡單的事。即可得若f(z)=0 則f({z}) = 0
回憶(*)的證明，其實用了兩件事：
I) 對所有實數r, {r}=r II)對所有複數z, w {z+w} = {z}+{w}, {zw}={z}{w}
那對於有理係數多項式 f，固定有理數c，使得sqrt(c)非有理數的平方。
想到 i 其實是 sqrt(-1)，就能依樣畫葫蘆。
對於 S={a+b sqrt(c)屬於C| a,b屬於Q} 中的元素定義
{a + b sqrt(c)} = a - b sqrt(c) (注意到 a+b sqrt(c)的表法是唯一的)
那可以驗證
I') 對所有有理數q, {q}=q II')對所有S中的s,t, {s+t}={s}+{t}, {st}={s}{t}
因此用新定義的{} 可以得到若f(s)=0，則f({s})=0
這個方法雖然很方便，但是它只能處理比較簡單的問題。
有關有理係數多項式的「無理根」會不會「成對」
其實光這樣講是有問題的。「成對」好像兩個的意思，而且和誰成對也說不清楚。
「無理根」好像隱含實根的意思，不過其實應該在複數上也有類似的結論。
真正的情形應該是
「設a0是複數，則有特定的a1,a2,...,an使得對所有有理係數多項式f都有
『若有i，使f(ai)=0，則f(a0)=f(a1)=f(a2)=...=f(an) = 0』」
也就是說這幾個數要不就全都是根，要不就全都不是。
舉一個不一樣的例子，譬如 a0 = 2^1/3
可以稍微嘗試一下，找一些有理係數多項式f使得f(a0)=0
那你將會發現 a1 = wa0, a2 = w^2 a0, 其中w是1的三次方根，(w=/=1)都是f的根。(**)
事實上，這種多項式最簡單的就是 g(x) =x^3 - 2
在這個例子裡面，是有三個數在一起，不大像「成對」的意思。
但是代數上我們還是會說它們「共軛」。
要證明(**)也不難。對於有理係數多項式f，若有f(ai)=0, i=0,1,或2
考慮f除以g，記成 f(x) = q(x)g(x) + r(x). r(x) = ax^2 + bx + c
那因為g(ai)=0，所以 r(ai) = 0，
然後就想辦法證明 r=0。(可以用一些有關有理數無理數的證明，不過這個方法很難推廣)
因為 r(ai)=0，所以 g.c.d(g, r)=/=1，但是g無有理根的三次式，不可約，故r=0
不管怎麼說明，既然r=0, g|f，自然 f(a0)=f(a1)=f(a2)=0
從證明中我們也可以看出，若g是不可約的有理係數多項式，
其根為a0,a1,..,an 那麼總有若有i，使f(ai) = 0則 f(a1)=f(a2)=...=f(an)=0
(一個三實根的例子：x^3 - 3x^2 + 3 = 0 的三個根)
※ 引述《TheOneisNEO (Thomas Anderson)》之銘言：
: 前面有討論過
: 不過我還有點不清楚
: 簡單的問就是
: f(x)是有理係數多項式
: 那麼f(a+bi) = f(a-bi) b不為零 什麼時候才確定成立?
: 還是沒這回事 有也只是巧合?
: 還有f(a+b√c) = f(a-b√c) b不為零 c非任何有理數的平方
: 那什麼時候才確定會成立?
: 二次根號對 那四次根號呢?
: 原先是一個高中生問我的 可以用高中方法解釋嗎?
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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推
06/04 00:11, , 1F
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