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看了提出廣義函數(distribution)理論的數學家Schwartz
自述如何發現該理論的文章
廣義函數能給狄拉克函數堅實的數學基礎
為何狄拉克函數不是函數(因而需要新理論)？
狄拉克函數在有限個點的函數值有跳躍(非0值)
在其他位置函數值均為0
根據積分理論 有限個點的測度(長度)為0
如果狄拉克函數是一般函數 積分值將為0而非所需的1
而廣義函數理論在狄拉克函數提出後約20年才被完成
狄拉克函數也不是狄拉克第一個提出
至少在(約20年前)解ODE的逆算子法提出時就有了
逆算子法是Heaviside提出,其同名的step function經微分後就是狄拉克函數
而且狄拉克函數的雛形在更早已有,像是在傅立葉級數、微分方程弱解等
逆算子法被當時的數學家否定,即使答案正確暗示了可以證明
以前我對逆算子法的認知是 學校教授不喜歡、補習班因為各種原因常教
還有就是不知道為何對、不照其規則做時正確度會不穩定
也曾看過數學強者試著用homomorphism解釋為何方法有效 但沒有完美結果
而我看Schwartz介紹逆算子時 公式寫起來很像拉普拉斯/傅立葉變換會有的
不知道作者故意重新詮釋還是Heaviside當初就是那樣寫
查了發現維基直接寫逆算子法可以用拉普拉斯/傅立葉變換證明
而Schwartz最後也說在逆算子法提出後約20年就有人用拉普拉斯/傅立葉變換證明
他還說年輕時和友人一起聽過教物理數學的課(也有提到狄拉克函數)
覺得一堆沒辦法用嚴格數學證明的事物 他們都覺得很噁
沒想到放置多年 加上各種際遇讓他想出廣義函數
他把這段歷程用滴水穿石比喻(原文是用percolation在不同事物)
Schwartz 還用有理數擴張成實數比喻函數推廣成廣義函數
{有理數的集合}變為實數的定義;{線性泛函的集合}變為廣義函數的定義
至於廣義函數為何命名為distribution?作者沒明說
但他有提到電磁學的電荷分佈 (點電荷的密度函數就是由狄拉克函數表示)
也許就是這樣稱為distribution ?
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05/04 19:51,
1年前
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05/04 19:51, 1F
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