[閒聊]
理論力學中的拉格朗日量為何是那種形式
也許可從量子理論當基本假設出發來看
確切的說 拉格朗日量L可從哈密頓量H的legendre轉換得到
哈密頓量是廣義的能量函數 比較直觀
若已知量子態躍遷(i->f)機率幅正比於<f|e^(-iHt/h)|i>
將I=Σ|x><x|=Σ|p><p| 代入 並利用 <x|p>~e^(ipx) (可從x,p的對易關係推得)
原式可改寫成∫D(x)D(p)e^(i/h)Σ[pΔx-H(x,p)Δt]
將p積分可得路徑積分形式, 但不直接積而是取近似
利用h->0,對積分的主要貢獻項來自sup{ p(Δx/Δt)-H(x,p) }
恰好就是H的legendre轉換
原式近似為∫D(x)e^(i/h)(∫Ldt) 利用h->0亦可得最小作用量原理
也就是說L是H的legendre轉換
和量子力學中的x,p對易關係及h->0古典極限有關
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推
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