Re: [問題] 古老的問題(改) 解答篇
假設黑板上的兩數為A,B,其中A>B
甲乙兩人的數為X,Y
老師第一次問甲的時候
甲會想:乙的數可能會是A-X或是B-X
而乙的數當然是正數
如果B-X不是正數,那乙的數當然就是A-X了
此時甲就會回答我知道了
如果B-X是正的,那A-X也是正的
甲不能確定乙的數,甲回答不知道
注意到甲這裡回答不知道,那就代表B > X > 0
接著老師問乙
乙會想:甲的數可能會是A-Y或是B-Y
由於此時甲已經回答一次不知道了
所以有B > X > 0
而乙知道X可能是A-Y或是B-Y
所以他可以檢驗B > A-Y > 0 和 B > B-Y > 0
只要有一個不成立,另一個就是答案
若都成立
則乙不能得知甲的數,他回答不知道
再注意到這裡乙回答不知道,那就代表B > A-Y > 0 和 B > B-Y > 0都成立
整理一下得到 B > Y > A-B
接著老師再問甲
此時乙已經回答不知道了
所以有B > Y > A-B
甲可以檢驗 B > A-X > A-B 和 B > B-X > A-B是否成立
若有一個不成立,另一個就是答案
若都成立,則甲回答不知道
這也就代表了B > A-X > A-B 和 B > B-X > A-B都成立
整理一下得到: 2B-A > X > A-B
接著老師再問乙
乙就檢驗2B-A > A-Y > A-B 和 2B-A > B-Y > A-B,依此類推
歸納一下可以知道
甲第n次回答不知道時,代表 B-(n-1)(A-B) > X > (n-1)(A-B)
乙第n次回答不知道時,代表 B-(n-1)(A-B) > Y > n(A-B)
隨著n愈來愈大,這兩個式子總會有一天不成立的
所以就會有一個學生回答我知道了
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