[理工] 線代 矩陣rank

看板Grad-ProbAsk作者 (Chris7642)時間3年前 (2020/08/03 22:01), 3年前編輯推噓0(0推 0噓 19→)
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不好意思來問一下 想請問這題的第二行 「因為AB為m x m矩陣，所以AB為不可逆矩陣」 這一句話是用到了哪個定理呢？ 第一行我懂 有猜是不是用到了 「若矩陣A (n x n) 可逆 iff rank(A)=n」 沒有頭緒QQ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.136.75.96 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1596463265.A.224.html ※ 編輯: Chris7642 (114.136.75.96 臺灣), 08/03/2020 22:01:17
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08/03 22:35, 3年前 , 1F
我的想法是這樣：第一行是由rank(A) ﴠmin{m, n} 以
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及 rank(AB) ﴠmin{rank(A), rank(B)}兩個定理和題
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目條件m>n所形成
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第二行的話就是用到你說的「A(n×n)可逆 iff rank(A)
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=n」，如果AB(m×m)可逆的話，rank(AB)就會=m，但是
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由第一行已經知道rank(AB)<m，顯然rank(AB)不可能等
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於m，所以AB就為不可逆矩陣
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08/03 22:40, 3年前 , 8F
然後前兩樓的問號是等號，不知道為啥變問號XD
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08/03 22:42, 3年前 , 9F
啊抱歉說錯，是小於等於=<，ptt好像不能直接打
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08/03 22:45, 3年前 , 10F
阿我頭昏了，自己都把答案說出來了
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08/03 22:46, 3年前 , 11F
rank(AB) 小於 m 因此不符合定理
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08/03 22:46, 3年前 , 12F
A可逆 =>A is nonsingular=> ker(A) = {0}
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=> nullity(A) = 0 => rank(A) =n
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08/03 22:46, 3年前 , 14F
若AB可逆 則rank(AB)=m
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08/03 22:47, 3年前 , 15F
因此AB不可逆 因此 det(AB)=0
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08/03 22:49, 3年前 , 16F
感謝提醒
08/03 22:49, 16F
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08/03 22:50, 3年前 , 17F
@chengweihsu A不是方陣哦
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08/03 23:15, 3年前 , 18F
我只是單純說明可逆的話要滿秩，當然都是在方陣的時
08/03 23:15, 18F
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08/03 23:15, 3年前 , 19F
候談，別在意XD
08/03 23:15, 19F
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