[理工] 直和的觀念問題（4題）已刪文

看板Grad-ProbAsk作者 (我可以)時間5年前 (2018/09/21 14:09), 5年前編輯推噓6(6推 0噓 7→)
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A: n*n Q1. V = CS(A) 直和 N(A)，什麼時候只需要證一個條件「V=CS(A)+N(A)」或「CS(A) 交 集 N(A) 是零空間」就好？還是任何時候只需證一個條件就好？ Q2. A是nonsingular，則 V = CS(A) 直和 N(A) => 我的答案是：Yes => 想法： nonsingular 代表所有x不是0的，Ax都不是0，也就是Ax= 0 只有0解；交集N(A)時是零空 間，滿足直和定義中的其一條件，形成直和 Q3. A是singular，則 CS(A) 和 N(A) 無法形成V的直和 => 我的答案是：Yes => 想法： Singular 定義為 存在一個x不等於0 使得Ax等於0，那麼CS(A) 交集 N(A) 不是零空間， 所以不滿足直和兩個條件中的 交集是零空間，所以沒辦法形成直和 Q4. A^2 = A(idempotent)，滿足條件 eigenvalue 不是0就是1，那如果有eigenvalue=0 的不是代表A是Singular嗎？那根據Q3 這樣不就矛盾了？ 以上是我的問題 請大大幫忙，感謝QQ.. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.137.39.66 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1537510188.A.B03.html
推
09/21 14:48, 5年前 , 1F
1.2沒問題 問題是3 ker中含x不為0不代表x也會在Image中
09/21 14:48, 1F
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09/21 14:48, 5年前 , 2F
比如xy平面跟z軸形成R3 他們的交點仍然只有0
09/21 14:48, 2F
我懂意思了 就算我有非零解使的Ax=0，但也不能代表這個非零解一定在CS中，所以CS跟N的交集也有 可能產生零空間，如大大舉的例子 請問是這樣沒錯吧？ 另外，第一題就是 無論何時，要證明直和，只需證明其中一個條件就好，對吧？ ※ 編輯: meokay (114.137.39.66), 09/21/2018 15:04:53
推
09/21 16:00, 5年前 , 3F
應該說 不論何時要證明V為ker(T)跟Im（T)之直和 只需證兩
09/21 16:00, 3F
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09/21 16:00, 5年前 , 4F
者之一 但如果是其他空間的直和並不會有這樣的性質
09/21 16:00, 4F
推
09/21 17:28, 5年前 , 5F
只要T是V→V且linear 也就是只要A是方陣應該都行
09/21 17:28, 5F
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09/21 17:58, 5年前 , 6F
了解了！！ 謝謝各位大大
09/21 17:58, 6F
推
09/22 02:59, 5年前 , 7F
Q1 Friedberg 第二章有一題就是在講這個。
09/22 02:59, 7F
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09/22 02:59, 5年前 , 8F
結論是 T 是 L(V) 且 V 有限維時證一個就好。
09/22 02:59, 8F
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09/22 03:00, 5年前 , 9F
查了一下是第四版 2.1 的第 35 題
09/22 03:00, 9F
推
09/22 03:02, 5年前 , 10F
Q2 就是 Q1 的結果，因為這時兩個交集顯然只有 0
09/22 03:02, 10F
推
09/22 03:04, 5年前 , 11F
Q3 未必對。投影函數隨便抓一個就是反例
09/22 03:04, 11F
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09/22 03:05, 5年前 , 12F
Q4 投影函數的其中一個等價條件就是冪等
09/22 03:05, 12F
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09/22 03:05, 5年前 , 13F
所以其實 Q4 就造了原 Q3 的反例
09/22 03:05, 13F
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