[理工] 線代 矩陣有解的判斷

看板Grad-ProbAsk作者 (蜜蜂P助)時間5年前 (2018/09/13 08:03), 5年前編輯推噓16(16推 0噓 15→)
留言31則, 6人參與, 5年前最新討論串1/1
https://i.imgur.com/ECY4rKw.png
這部分看了好久還不是很懂，想請問： Note(2) 中 rank(A) = m 時至少一解， 是包含無自由變數時的唯一解、有自由變數的無限多解，這兩種情況？還是有其他的？ Note(3) 中 rank(A) = n 時至多一解， 是因為唯一解、無解，如下這樣嗎？ https://i.imgur.com/yyzjZss.jpg
----- 此外也想請問一下這樣判斷對不對 https://i.imgur.com/vLtJHyp.png
A: mxn EX(1) A: 3x5, rank(A) = 3 rank(A) = m： CS(A) = F^mx1 夠大，∀b 有解，至少一解 rank(A) < n： 有自由變數或無解 根據 m 再根據 n，此題為無限多解 EX(2) A: 4x3, rank(A) = 3 rank(A) < m： CS(A) != F^mx1 不夠大，some b 有解，some b 無解 rank(A) = n： 至多一解，亦即有唯一解或無解 根據 m 再根據 n，此題為至多一解（有解必定為唯一解） EX(3) A: 3x4, rank(A) = 2 rank(A) < m： CS(A) != F^mx1 不夠大，some b 有解，some b 無解 rank(A) < n： 有自由變數或無解 根據 m 再根據 n，此題為 some b 因 x 有自由變數而無限多解，some b 則無解 先謝謝各位 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 106.105.90.47 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1536797015.A.600.html
推
09/13 08:21, 5年前 , 1F
就Amxn來說，若是rank=n時稱作full column rank,此時A
09/13 08:21, 1F
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09/13 08:21, 5年前 , 2F
的row在做消去法的同時若出現一個「非零值=0」則「無解
09/13 08:21, 2F
→
09/13 08:21, 5年前 , 3F
」，反之就是「0=0」，所以有「唯一解」
09/13 08:21, 3F
推
09/13 08:24, 5年前 , 4F
Rank = m則稱為full row rank, 此時「不可能會有0=0」
09/13 08:24, 4F
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09/13 08:24, 5年前 , 5F
產生，要考慮的是在消去法的同時會產生多少的free varia
09/13 08:24, 5F
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09/13 08:25, 5年前 , 6F
ble, 所以宏觀而言，如果rank = m < n就無限多組解，因
09/13 08:25, 6F
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09/13 08:25, 5年前 , 7F
為必有free variable 出現
09/13 08:25, 7F
推
09/13 08:28, 5年前 , 8F
無解 》消去法過程中非零值 = 0 / 無限多組解〉有自由
09/13 08:28, 8F
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09/13 08:28, 5年前 , 9F
變數出現（rank(A)< n)
09/13 08:28, 9F
推
09/13 08:32, 5年前 , 10F
最後你寫唯一解跟無限多解的方式都是對的，至於在看例題
09/13 08:32, 10F
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09/13 08:32, 5年前 , 11F
的時候建議從rank & 消去法下手，以上有錯還請告知
09/13 08:32, 11F
所以是以下這樣的意思嗎？ rank = m < n 時 因消去法後有自由變數，無限多解 rank = n < m 消去法後 可能造成 Ax=b 之某列為 0=非零，即無解 也可能 Ax=b 之某列為 0=0，即唯一解 （總覺得這邊我的想法還在第一章 XD）
推
09/13 11:16, 5年前 , 12F
如果把 A 看成一個 F^n 到 F^m 的線性轉換
09/13 11:16, 12F
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09/13 11:17, 5年前 , 13F
每個 F^m 裡面的東西都有解，表示是 A 是 onto
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09/13 11:17, 5年前 , 14F
所以 A 的值空間就要是 F^m，維度就要一樣
09/13 11:17, 14F
所以 dim(R(A)) = m rank(A) = m
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09/13 11:18, 5年前 , 15F
每個 F^m 裡面的東西至多一解表示 A 至少是 1-1
09/13 11:18, 15F
請問這句能在解釋詳細一點嗎？至少的意思是？ 目前只想得到 F^m 至多一解，就是唯一解和無解 而唯一解就是一個點對過去一個點，無解就是沒有點對過去
推
09/13 11:19, 5年前 , 16F
值空間的維度至少要是 n，但線轉不會升維度，所以只能是 n
09/13 11:19, 16F
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09/13 11:40, 5年前 , 17F
感謝樓上大大的講解 但不太懂為什麼線轉不會升維度
09/13 11:40, 17F
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09/13 11:40, 5年前 , 18F
能說得詳細一點嗎
09/13 11:40, 18F
推
09/13 12:08, 5年前 , 19F
假設 n 維定義域的值空間升到 n + k 維
09/13 12:08, 19F
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09/13 12:08, 5年前 , 20F
把那組 n + k 維基底 T(x1) … T(x_{n + k}) 找出來
09/13 12:08, 20F
推
09/13 12:11, 5年前 , 21F
寫下 線組=0 iff 係數全0 並把線性組合通通塞回 T 裡面
09/13 12:11, 21F
推
09/13 12:14, 5年前 , 22F
發現這個 n 維空間居然有元素數 n + k 的線性獨立集，矛盾
09/13 12:14, 22F
推
09/13 12:19, 5年前 , 23F
或有非零元素被送到0，那值空間顯然不可能比n維大，也矛盾
09/13 12:19, 23F
※ 編輯: piskebee (106.105.90.47), 09/13/2018 13:39:36
推
09/13 13:12, 5年前 , 24F
感謝K大分享新觀點
09/13 13:12, 24F
推
09/13 20:56, 5年前 , 25F
Full row rank ：1 or 無限多 ; Full column rank : 0 or
09/13 20:56, 25F
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09/13 20:56, 5年前 , 26F
1
09/13 20:56, 26F
推
09/14 11:18, 5年前 , 27F
不好意思想問一下，CS(A) != F^mx1 不夠大，some b 有解，so
09/14 11:18, 27F
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09/14 11:18, 5年前 , 28F
me b 無解，為什麼不夠大就會導致有些b有解有些b無解
09/14 11:18, 28F
推
09/14 12:01, 5年前 , 29F
表示有些 F^m 中的元素不能表示成 A 的行向量的線性組合
09/14 12:01, 29F
推
09/14 17:23, 5年前 , 30F
懂了 感謝
09/14 17:23, 30F
推
09/16 08:30, 5年前 , 31F
推
09/16 08:30, 31F
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