Fw: (aa06697) Re: [理工] 線代 非歐式空間轉換的矩陣表示法的性質
原題目:http://imgur.com/a/575W7
※ 引述《aa06697 (忍者龜頭痛)》之銘言：
: 你好～想請教幾個問題
: ※ 引述《OppOops (Oops)》之銘言：
: : 非歐式空間的轉換,
: : 背後仍為Finite Dimensional Vector Space之間的轉換
: : 例如,
: : 向量Fn 同構 n dimension Vector space
: : 多項式Pn 同構 n+1 dimension Vector space
: : Vector space是代數定義,
: : (1) 其任意元素滿足ablian群加法 (前四項,封閉性,單位元素...etc)
: : (2) 其任意元素與scalar Field滿足乘法(分配律, 結合...etc)
: : 而Range, Kernel, 1-1, onto, rank, ... etc
: : 這些概念是建立在Vector Space之上才有的
: : 其代表的是2個Vector Space之間的關係
: : 也就是linear mapping(transformation)
: : 所以你的代數結構必須要同構Vector Space
: : 才享有這些性質
: 這邊是指什麼意思？同構函數才會有rank, kernel....等等這些性質？！
指的是觀念建立的方向.
代數結構如R^n 或 Pn 同構於 Vector space,
兩個Vector Space W, V可以存在對應關係,
我們說這個對應關係T叫做linear mapping(transformation)
T: W -> V
Rank指的是T的對應中, 含有線性獨立的數量(以矩陣來說是dim(C(A)))
Kernel指的是∀w ∈ W, 使得 T(w) = 0
反過來說, 非Vector space就沒有這些性質、對應關係
: : 基底可以直接對應就沒有問題,
: : 如果是Pn -> Fn+1, 會稍微不同
: : 但總結來說, dimension變化是一樣的
: : 而R(U)--->R(B)你要自己想辦法轉換
: 請問基底可以直接對應是什麼意思？（標準基底的意思嗎？）
: 是說B不能隨便取基底得來嗎？
: 其實我主要是看這題時感到困惑：
: http://imgur.com/a/575W7
: （抱歉筆跡有點亂）
: 在第c,d題的部分
: 因為我之前一直以為要是歐式空間轉換才可以把R(T),N(T)寫成R(A),N(A)來求
: 結果這兩題卻是直接拿a,b題的答案來做！
: （而且取的基底都還不是標準基底）
"對應"就是用operator
將一個空間 轉換成另一個空間
你說的歐式空間我把它寫成F^n (R^n)這樣比較精確
轉成矩陣形式純粹是好算又方便
我們先來看看(a)的部分
T : P2 -> P3 原本線性變換
[T]α->β : F3 -> F4 矩陣表示法
那T的null space 為何?
{ 0 + 0x + 0x^2 }
那[T]α->β的null space又為何?
{ (0,0,0) }
顯然兩個null space絕對不一樣.
(但有沒有轉成標準基底卻不影響)
: 因為歐式空間轉換的部分都可以把函數直接看成矩陣
: 所以就讓我在想 是否非歐式空間轉換也可以把函數直接看成矩陣＠＠？
: 然後想問一下
: 那題(c)如果是問basis for the range of U
: 要怎麼用(b)的答案來求呢？還是沒有辦法？
: 我只知道matrix B的的行向量皆獨立
: 也就是CS(B) = span{(0,0,-2,2) , (0,0,0,2) , (6,6,7,2) , (90,60,30,2)}
: 要怎麼轉回CS(U)啊？
你要把它寫成對應的結果
U: P3 -> R[2x2]
所以你的答案CS(U)
必須是R[2x2]的span
舉其中一個向量,
(0,0,-2,2)是甚麼?
是與P3同構的向量R4, 並且作為γ基底之線性組合
即為:
0*γ0 + 0*γ1 + -2*γ2 + 2*γ3
= 0*A1 + 0*A2 + -2*A3 + 2*A4
= [ 2 2 ]
[ 2 2 ]
要寫成標準基底就是第3式
寫成題目規定的基底就是前2式
皆為R(U)之答案一部分(抱歉, 剩下三個你可以自行嘗試)
R(B)就是CS(B), 你上面給的span
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