[理工] [工數] O.D.E.問題集

看板Grad-ProbAsk作者 (雞雞)時間12年前 (2013/03/27 14:12), 編輯推噓11(11推 0噓 44→)
留言55則, 3人參與, 最新討論串1/1
1.d(y*u)=y^2du 判斷線性非線性的依據為應變數是否有自乘項等...... 但是這題要如何判斷何者為應變數 自變數? 一般都以x為自變數 y為應變數 那此題要如何判斷? 2.高階常係數非齊性ODE 想請問一下我在算此章題目時 待定係數法所算出來的和逆運算子所算出來的特解(即Yp)會不同 但是結合到通解Y=Yh+Yp會相同，因為特解有些項可以結合到齊性解 這樣通解不同是正確的嗎? 3.想請問一下泰勒級數解和Frobenius級數解可否解非線性的題目? 4.想請問一下可化為Bessel's Equation的例題如下 有辦法靠可化為Bessel's ODE的三種型式解題嗎? 因為我有背下三種型式最終的Bessel's解 (x^2)y''+(x^2+0.25)y=0 原PO我為了感謝解題者 如解答太多可私信 我必奉上報答...... 麻煩各位幫我解惑~~~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.120.229.217 ※ 編輯: Ifanwei 來自: 140.120.229.217 (03/27 14:16) ※ 編輯: Ifanwei 來自: 140.120.229.217 (03/27 14:16)
→
03/27 14:29, , 1F
1.y=y(u) 2.特解有齊性解項最好併到齊性解中以防改錯
03/27 14:29, 1F
→
03/27 14:30, , 2F
3.收斂區間確定後就能用 不過計算複雜一些(要逐項相乘)
03/27 14:30, 2F
→
03/27 14:31, , 3F
要如何看是y(u)而不是u(y)?雖然y大家都習慣為應變數
03/27 14:31, 3F
→
03/27 14:33, , 4F
4.let y=sqrt(x)*z帶入化簡得:
03/27 14:33, 4F
→
03/27 14:34, , 5F
x^2z''+xz'+(x^2+0^2)z=0 可帶bessel eq.公式解 =>還原
03/27 14:34, 5F
→
03/27 14:37, , 6F
因為eq.還原為 d(yu)/du=y^2
03/27 14:37, 6F
→
03/27 14:44, , 7F
不好意思 為什麼還原後就看的出來? 麻煩~~
03/27 14:44, 7F
→
03/27 14:45, , 8F
那第四題Bessel是無法用背最後形式的解出來答案嗎?
03/27 14:45, 8F
→
03/27 14:46, , 9F
只能用應變代待換成BESSEL's Equation解嗎?
03/27 14:46, 9F
推
03/29 00:04, , 10F
#1D0xyW7L (Math) [ptt.cc] Re: [工數] 一題ODE
03/29 00:04, 10F
→
03/29 00:08, , 11F
4.可以自己先偷算，如果是BesselJ(1/2,x)等類型可以再
03/29 00:08, 11F
→
03/29 00:10, , 12F
變換成三角函數等類型
03/29 00:10, 12F
推
03/29 00:14, , 13F
如果不是上述情形，先用Frobenius級數法找到指標方程
03/29 00:14, 13F
推
03/29 00:20, , 14F
(x^2)y''+(x^2+0.25)y=0 => y''+(1+0.25/^2)y=0
03/29 00:20, 14F
→
03/29 00:22, , 15F
y''+ P(x)y'+ Q(x)y = 0 => P(x) =0,Q(x) = 1+ 0.25/x^2
03/29 00:22, 15F
推
03/29 00:24, , 16F
(x^2)y''+(x^2+0.25)y=0 => y''+(1+0.25/x^2)y = 0
03/29 00:24, 16F
→
03/29 00:25, , 17F
指標方程Po=0和Qo=1/4代入r(r-1)+Po*r+Qo=0
03/29 00:25, 17F
→
03/29 00:27, , 18F
=> r (r - 1) + 1/4 == 0 => (r - 1/2)^2 = 0
03/29 00:27, 18F
推
03/29 00:30, , 19F
r = 1/2 => 用傳統 Frobenius 級數的做法，或用
03/29 00:30, 19F
→
03/29 00:31, , 20F
y = √x*z(x) 代回原式整理得 x^2 z''+ x z'+ x^2 z = 0
03/29 00:31, 20F
→
03/29 00:32, , 21F
z(x) = C1 BesselJ[0, x] + C2 BesselY[0, x]
03/29 00:32, 21F
→
03/29 00:33, , 22F
y(x) = √x(BesselJ[0, x] C[1] + BesselY[0, x] C[2])
03/29 00:33, 22F
→
03/29 00:34, , 23F
用傳統 Frobenius 級數的做法是可以得到 y1 的級數表示
03/29 00:34, 23F
推
03/29 00:41, , 24F
但遇到y2就要看情形 分三種情況 r2-r1≠0、0、整數
03/29 00:41, 24F
推
03/29 00:45, , 25F
r2-r1≠0的情況最容易，方法同 y1 的解
03/29 00:45, 25F
推
03/29 00:56, , 26F
03/29 00:56, 26F
→
03/29 01:01, , 27F
r2-r1＝0的情況則次之，y2為y1對r的偏微分再代入r
03/29 01:01, 27F
→
03/29 01:02, , 28F
example：5.4- 9
03/29 01:02, 28F
→
03/29 01:06, , 29F
r2-r1=整數情況最麻煩 example：5.4- 3 and 5
03/29 01:06, 29F
→
03/29 01:10, , 30F
example：5.4- 5、9、13 亦可用參數變異法得到
03/29 01:10, 30F
→
03/29 01:10, , 31F
03/29 01:10, 31F
→
03/29 01:12, , 32F
感謝F大的解題及補充 但是還是想請問Frobenius及泰勒
03/29 01:12, 32F
→
03/29 01:12, , 33F
可否解非線性的題目? 例如y^2
03/29 01:12, 33F
→
03/29 01:12, , 34F
example：5.4- 3 的y1為BesselJ，y2用此方法則難以積分
03/29 01:12, 34F
→
03/29 01:13, , 35F
除非用長除法再去積分可得y2的展開
03/29 01:13, 35F
→
03/29 01:14, , 36F
非線性部分用Talor或Frobenius法可能只能得到近似解
03/29 01:14, 36F
→
03/29 01:14, , 37F
而且可能還得去探討解的存在性跟唯一性再去看收斂區間
03/29 01:14, 37F
→
03/29 01:15, , 38F
喔喔 了解 那F大 第一題B大的解釋我看不懂 可解釋嗎?
03/29 01:15, 38F
→
03/29 01:16, , 39F
u 要看是 u(y) or u(x) or u(x,y) ...
03/29 01:16, 39F
→
03/29 01:17, , 40F
那如何判斷誰是應變數自變數?
03/29 01:17, 40F
→
03/29 01:17, , 41F
只要u裡面出現y就可能是非線性，還得看變數是否能分離
03/29 01:17, 41F
→
03/29 01:19, , 42F
如果只有x跟y而已，雙方互為函數即反函數，就看對誰微分
03/29 01:19, 42F
→
03/29 01:20, , 43F
y^2就是非線性了 但是u的形式無法確定 這樣就無法解?
03/29 01:20, 43F
→
03/29 01:20, , 44F
及
03/29 01:20, 44F
→
03/29 01:20, , 45F
這樣也只能先把y視為應變數 u視為自變數
03/29 01:20, 45F
→
03/29 01:21, , 46F
對 條件不足 沒辦法解
03/29 01:21, 46F
→
03/29 01:21, , 47F
感謝^^
03/29 01:21, 47F
推
03/29 01:23, , 48F
至於 example：5.4- 3 and 5 的差別
03/29 01:23, 48F
→
03/29 01:23, , 49F
#1EIL6v9s (Math) Re: [微積] 幾個微分方程的觀念
03/29 01:23, 49F
推
03/29 01:26, , 50F
2.跟初始條件或邊界條件有關
03/29 01:26, 50F
→
03/29 01:26, , 51F
2.是正確的
03/29 01:26, 51F
→
03/29 01:27, , 52F
一樓正解
03/29 01:27, 52F
→
03/29 01:30, , 53F
TKS
03/29 01:30, 53F
推
03/29 01:58, , 54F
03/29 01:58, 54F
→
03/29 01:58, , 55F
03/29 01:58, 55F
‣ 更多 Ifanwei 的文章
文章代碼(AID): #1HKeteZa (Grad-ProbAsk)