[理工] 線代相似性

看板Grad-ProbAsk作者 (Ellison)時間13年前 (2013/02/12 15:55), 編輯推噓6(6推 0噓 20→)
留言26則, 2人參與, 最新討論串1/1
大家新年快樂：) 請問一個很基本的問題， 若A~B保nullity， 那nullity(A-I)和nullity(B-I)會相等嗎? 不好意思很多基本觀念沒釐清@@" -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 175.96.201.233
推
02/12 19:21, , 1F
true A~B 存在一可逆矩陣P使得P^-1AP = B
02/12 19:21, 1F
→
02/12 19:24, , 2F
假設f(X) = ΣakX^k 則f(B) = ΣakB^K = Σak(P^-1AP)^k
02/12 19:24, 2F
→
02/12 19:26, , 3F
= Σak(P^-1A^kP) = P^-1(ΣakA^k)P = P^-1f(A)P
02/12 19:26, 3F
→
02/12 19:28, , 4F
所以f(A)~f(B) 令f(X)=X-I 則(A-I)~(B-I)
02/12 19:28, 4F
→
02/12 19:29, , 5F
因此nullity(A-I)=nullity(B-I)
02/12 19:29, 5F
→
02/12 19:38, , 6F
但取A={(3 2 2)^T,(-1 0 -1)^T,(-2 -2 -1)^T}
02/12 19:38, 6F
→
02/12 19:39, , 7F
B為{(1 0 0)^T,(0 0 -1)^T,(-1 0 1)^T}
02/12 19:39, 7F
→
02/12 19:41, , 8F
nullity(A-I)=2跟nullity(B-I)=1卻不同....
02/12 19:41, 8F
→
02/12 19:42, , 9F
B是由A列運算得來的..所以A~B應該沒算錯@@
02/12 19:42, 9F
→
02/12 19:50, , 10F
因為我拿B無法對角化,拿A卻能對角化,所以才覺得很奇怪..
02/12 19:50, 10F
推
02/12 19:52, , 11F
妳是不是列運算算錯了?我算出來B跟你不一樣
02/12 19:52, 11F
→
02/12 19:53, , 12F
B={(1 0 0)^T,(0,0,-1)^T,(1,0,1)^T}
02/12 19:53, 12F
推
02/12 20:01, , 13F
我算錯...應該是{(3,0,0)^T,(0,0,-1)^T,(-1,0,-1)^T}
02/12 20:01, 13F
→
02/12 20:03, , 14F
A=>R2*(-1)->R1和R3=>R3*(-1)->R1
02/12 20:03, 14F
→
02/12 20:03, , 15F
=>R1*(-2)->R2=>B
02/12 20:03, 15F
推
02/12 20:03, , 16F
(-1,0,1)^T.....
02/12 20:03, 16F
→
02/12 20:06, , 17F
嗯哼...很怪對吧@@"這矩陣我玩一整個下午....
02/12 20:06, 17F
推
02/12 20:13, , 18F
列運算沒有保相似喔...相似還有一個充要條件jordanform
02/12 20:13, 18F
→
02/12 20:14, , 19F
相同 你算一下兩個gordanform應該不一樣
02/12 20:14, 19F
→
02/12 20:15, , 20F
jordanform
02/12 20:15, 20F
→
02/12 20:17, , 21F
ㄜ.....我跳過那章因為資工幾乎不考@@"
02/12 20:17, 21F
推
02/12 20:18, , 22F
我要你算也是因為我也跳過那一章XDDDDDDDD
02/12 20:18, 22F
→
02/12 20:20, , 23F
原來列運算不保證相似....
02/12 20:20, 23F
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02/12 20:21, , 24F
簡單舉個例子 若可逆矩陣A與I相似 則存在P使得P^-1AP = I
02/12 20:21, 24F
→
02/12 20:22, , 25F
則A = PIP^-1 = PP^-1 = I 所以A=I 所以I只與自己相似
02/12 20:22, 25F
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02/12 20:24, , 26F
感謝你！！ 新年快樂：)
02/12 20:24, 26F
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文章代碼(AID): #1H6VLkYx (Grad-ProbAsk)