[理工] [線代]內積空間維度問題

看板Grad-ProbAsk作者 (severus)時間11年前 (2012/09/07 14:44), 編輯推噓4(4推 0噓 10→)
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98 交大電信 章節是內積空間-正交補空間 題目： Let A be a 7x5 matrix of rank 4 and let b be a non-zero vector in N(A^T). What are the dimensions of R(A), N(A), R(A^T), N(A^T) ? 解答是說 dim(R(A)) + dim(N(A)) = 5 dim(R(A^T)) + dim(N(A^T)) = 7 我記得A是a*b的話，應該是有b個vector在a維空間生成 所以這題是5個vector在7維空間生成R(A)，總維度是7維 根據維度定理，上面我會寫成dim(R(A)) + dim(N(A)) = 7 然後轉置的話，就變成5x7 7個vector在5維空間生成.. 後面同上 總結來說，就是我的想法和解答剛好相反 請問我是搞錯什麼了嗎？ 謝謝解答 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.134.48.111
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09/07 16:07, , 1F
你搞錯的是以為dim(R(A)) + dim(N(A))會等於對應域維度
09/07 16:07, 1F
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09/07 16:11, , 2F
視實上應該等於定義域的維度 也就是五維空間的維度
09/07 16:11, 2F
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09/07 19:23, , 3F
抱歉不太懂，那請問我在解答下那三句話錯是在哪？
09/07 19:23, 3F
推
09/07 21:04, , 4F
rank(A)=4
09/07 21:04, 4F
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09/07 21:07, , 5F
...=> N(A)=1 = R(A^T)per , 所以R(A^T)=6且N(A^T)=1
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09/07 21:07, , 6F
以上淺見@@
09/07 21:07, 6F
推
09/07 21:11, , 7F
5個vector在7維空間生成R(A),當然維度最多5
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09/07 21:11, , 8F
你想的就像:(1,0,0)(0,1,0)要生成R^3一樣
09/07 21:11, 8F
推
09/07 21:18, , 9F
另外,rank(A)=dim(R(A))=dim(R(A^T))=4
09/07 21:18, 9F
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09/07 21:20, , 10F
所以N(A)=5-4=1, N(A^T)=7-4=3
09/07 21:20, 10F
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09/07 23:52, , 11F
我是說你不該用R(A)所在的空間的維度當做dim(R(A))+dim(N(A))
09/07 23:52, 11F
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09/08 00:10, , 12F
懂了感謝樓上諸位
09/08 00:10, 12F
推
09/08 00:14, , 13F
我把直和的觀念弄錯了 感謝糾正
09/08 00:14, 13F
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09/08 07:53, , 14F
是sylvester維度定理吧，rank(A)=dim(cs(A))=dim(R(A))
09/08 07:53, 14F
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