[理工] [線代] 正交投影-98中央資工

看板Grad-ProbAsk作者 (hypocrisy*)時間12年前 (2012/01/24 17:07), 編輯推噓20(20推 0噓 44→)
留言64則, 15人參與, 最新討論串1/1
是非題 5. If n x n matrix A has n linearly independent eigenvectors, then the -1 T linear system Ax=b has a least-squares solution R Q b. 答案是 false why?? 題目只給對角化的定義 跟QR有關係嗎? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.230.130.188
推
01/24 17:20, , 1F
這題成立的條件為b屬於col(A)
01/24 17:20, 1F
推
01/24 17:22, , 2F
我覺得應該不是R
01/24 17:22, 2F
推
01/24 17:27, , 3F
我覺得應該是要A可逆所以R可逆
01/24 17:27, 3F
推
01/24 17:27, , 4F
看A是否可逆
01/24 17:27, 4F
→
01/24 17:39, , 5F
是不是那個RQ的-1跟T要換過來才對？
01/24 17:39, 5F
→
01/24 17:41, , 6F
因為Q^T=Q^-1 但 R^T != R^-1
01/24 17:41, 6F
→
01/24 17:43, , 7F
(A^T)Ax=(A^T)b; A=QR; (A^T)=(R^T)(Q^T)=(R^T)(Q^-1)
01/24 17:43, 7F
推
01/24 18:09, , 8F
樓上把A和A^T帶回式子整理出來就是R^-1Q^Tb
01/24 18:09, 8F
→
01/24 18:20, , 9F
真的耶 我耍蠢了 再研究看看XD
01/24 18:20, 9F
推
01/24 18:37, , 10F
A要可逆才可以
01/24 18:37, 10F
→
01/24 18:38, , 11F
記得前面有討論過~
01/24 18:38, 11F
推
01/24 18:44, , 12F
Q R 是指什麼 ... 題目有定義嗎 ?
01/24 18:44, 12F
推
01/24 19:03, , 13F
A=QR (Q.R應該是QR分解的Q.R)
01/24 19:03, 13F
→
01/24 19:04, , 14F
對喔，我一直認為有n個獨立特徵向量A就可逆
01/24 19:04, 14F
→
01/24 19:04, , 15F
但其實若A有一個0特徵值 A就不可逆了
01/24 19:04, 15F
→
01/24 19:05, , 16F
Q為正交矩陣滿足Q^-1=Q^t
01/24 19:05, 16F
→
01/24 19:07, , 17F
如果b屬於col(A)，則x=(QR)^(-1)*b
01/24 19:07, 17F
→
01/24 19:07, , 18F
即為x=R^(-1)*Q^t*b
01/24 19:07, 18F
→
01/24 19:09, , 19F
A若可逆的話，其實b不用屬於col(A)也可以滿足
01/24 19:09, 19F
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01/24 19:10, , 20F
如果b不屬於col(A)，則x無解，但有least square solution
01/24 19:10, 20F
→
01/24 19:10, , 21F
最小方均根解就是b投影到A上的解,即使b不再A上也ok
01/24 19:10, 21F
→
01/24 19:10, , 22F
嗯嗯嗯！！
01/24 19:10, 22F
→
01/24 19:12, , 23F
實際上x(least square)=(A^t*A)^(-1)*A^t*b
01/24 19:12, 23F
推
01/24 19:17, , 24F
阿，我好像搞錯了
01/24 19:17, 24F
→
01/24 19:18, , 25F
A不一定可逆@@
01/24 19:18, 25F
→
01/24 19:19, , 26F
a大說的沒錯
01/24 19:19, 26F
推
01/24 19:20, , 27F
A若可逆的話 b一定會屬於col(A)吧
01/24 19:20, 27F
推
01/24 19:31, , 28F
b是任意選擇的，不一定會屬於col(A)
01/24 19:31, 28F
→
01/24 19:32, , 29F
不不不 想像一個三維空間 A若是2x2矩陣(代表一平面)
01/24 19:32, 29F
→
01/24 19:32, , 30F
b(一根向量)不一定在那平面上 但A可逆
01/24 19:32, 30F
推
01/24 19:38, , 31F
請問你b向量是R幾啊?
01/24 19:38, 31F
→
01/24 19:43, , 32F
我剛剛舉的那個例子都是在R^3裡面討論的
01/24 19:43, 32F
推
01/24 19:47, , 33F
那可以請問怎麼用2*2的矩陣對x作用然後生出R3
01/24 19:47, 33F
→
01/24 19:48, , 34F
意思是說 題目只給獨立的特徵向量 並無保證A是否可逆
01/24 19:48, 34F
→
01/24 19:49, , 35F
若有0特徵根 則A就不可逆 R也就不可逆 因此不會有R^-1?
01/24 19:49, 35F
推
01/24 19:50, , 36F
A可逆表col(A)=R^n b一定屬於R^n
01/24 19:50, 36F
→
01/24 19:51, , 37F
抱歉抱歉抱歉 我錯誤了 我再回去重新想想
01/24 19:51, 37F
推
01/24 19:55, , 38F
A可逆表col(A)=R^n，但b不一定屬於R^n
01/24 19:55, 38F
→
01/24 19:56, , 39F
阿我鬼打牆，錯了@@
01/24 19:56, 39F
→
01/24 19:57, , 40F
那b屬於哪裡?
01/24 19:57, 40F
→
01/24 19:58, , 41F
我要表達的意思是說，如果b不屬於col(A)，A不一定是n*n
01/24 19:58, 41F
→
01/24 19:59, , 42F
least square solution還是存在的
01/24 19:59, 42F
→
01/24 19:59, , 43F
上面我說錯，所以才說鬼打牆麻
01/24 19:59, 43F
→
01/24 20:01, , 44F
QQ
01/24 20:01, 44F
→
01/24 20:02, , 45F
因為這題A是n*n所以可以得到這樣的結論
01/24 20:02, 45F
→
01/24 20:05, , 46F
這題A是n*n但若他特徵值有0存在則代表A的行向量有相依
01/24 20:05, 46F
推
01/24 20:05, , 47F
如果這題A是m*n,m=\=n，而且A行滿秩
01/24 20:05, 47F
→
01/24 20:06, , 48F
像是三維空間裡的一個3x3矩陣 但他只展開了一個平面
01/24 20:06, 48F
→
01/24 20:06, , 49F
而不是立體空間
01/24 20:06, 49F
→
01/24 20:06, , 50F
所以這空間裡的b還是有可能不再那A上
01/24 20:06, 50F
→
01/24 20:06, , 51F
則B不一定屬於col(A)
01/24 20:06, 51F
→
01/24 20:07, , 52F
其實跟p大講得沒有衝突@@
01/24 20:07, 52F
推
01/24 20:13, , 53F
簡單來說，"A若可逆的話 b一定會屬於col(A)"是正確的
01/24 20:13, 53F
→
01/24 20:14, , 54F
但是有一個潛在的條件就是A要為n*n
01/24 20:14, 54F
→
01/24 20:15, , 55F
如果A是行滿秩但為m*n，m=\=n，則上面說的就不成立
01/24 20:15, 55F
推
01/24 20:44, , 56F
這題老梗，A要行獨立R才可逆
01/24 20:44, 56F
→
01/24 20:51, , 57F
A要行獨立 R才會是方陣 R^-1才存在
01/24 20:51, 57F
推
01/24 23:38, , 58F
QR分解記得是要n個相異特徵值跟特徵向量無關
01/24 23:38, 58F
推
01/24 23:41, , 59F
QR其實就是做GS 你A行相依 Q會有向量被砍掉
01/24 23:41, 59F
→
01/24 23:42, , 60F
R也會跟著砍 R就會不是方陣 你R搬不過去的
01/24 23:42, 60F
→
01/24 23:43, , 61F
n個線性獨立的eigenvector 是可對角化 跟可逆完全沒關
01/24 23:43, 61F
→
01/24 23:43, , 62F
係 除非他說是可逆
01/24 23:43, 62F
→
01/24 23:45, , 63F
中央很愛考這種 講一個完全沒關西的條件
01/24 23:45, 63F
→
09/11 14:48, , 64F
像是三維空間裡的一個3 https://daxiv.com
09/11 14:48, 64F
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