[理工] [複變] 複變積分兩題
※ [本文轉錄自 Math 看板 #1EVNYCIH ]
作者: andy2007 (...) 看板: Math
標題: [其他] 複變積分兩題
時間: Sat Sep 24 14:28:25 2011
各位前輩好，有兩個複變的問題想請教各位
1.
-x
∞ e cosx
∫ ------------ dx
0 √x
我的作法是:
由於分母和分子都不是積函數或偶函數，所以寫成下式 :
-z iz
∞ e e
Re [ ∫ ---------- dz ] ; 其中 z = x+iy
0 √z
使用封閉曲線計算時，卻不知道要從哪裡拉回來
看課本是寫說取θ= π/4，的確這樣取最後可以把答案算出
但是為什麼要取π/4呢？
2. 相同的題目
∞ cosx -x
∫ ------ dx 和上面題目差了個 e ，在另外一本書上
0 √x
卻看到拉回來的角度是取θ= π/2，這又是為什麼呢？
難道只是因為計算方便才這樣取的嗎？
3. 就我所知道的部份
∞ 1
∫ --------- dx
0 1 + x^3
這題目取封閉曲線，拉回來的角度是θ= 2π/3
是因為複變函數的映射轉換
i(2π/3)
z = re
3 3 i2π 3
z = r e = r (又回到實軸)
但如果就上面兩題，角度為什麼選擇π/4和π/2呢？
4.計算
∞
∫ cos(x^2) dx
0
課本寫說：
本題應考慮如下積分
iz^2
lim ∮ e dz
R→∞ c
路徑的設計使用了射線 θ= π/4
「因為這條線平方之後再乘以i便是實數」←這句話是什麼意思呢？
意思這樣子嗎？
∞ ∞ ix^2
∫ cos(x^2) + sin(x^2) dx = ∫ e dx
0 0
i(π/4)
若取 z = e
i(π/2)
z^2 = e = i
i z^2 = -1 不過這樣的有什麼涵義呢？
初學複變函數，有很多不清楚的地方，請各位前輩們多多包容
也煩請前輩們批評指教，再次謝謝您們。<(_ _)>
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