Re: [理工] [工數] [矩陣] 特徵值
※ 引述《iamwwj (阿Ken)》之銘言：
: (a) Given a matrix A = [ 5 -1 ] , find the orthonormal matrix T
: [ -1 5 ]
: that can produce the diagonal matrix D = [λ1 0] by D = TAT^-1,
: [0 λ2]
: where λ1 and λ2 are eigenvalues and λ1 > λ2 <=====(3)
: 我的計算過程如下:
: 目測λ= 6 , 6
λ1 = 6 ,λ2 = 4
: 將λ= 6 代回 (A - λI) T = 0 , [ -1 -1 ][T1] = 0
E = ker[-1 -1] = span{[1 -1]^t}
λ1 [-1 -1]
E = ker[1 -1] = span{[1 1]^t}
λ2 [-1 1]
-1
取 T = [1/√2 -1/√2 ] s.t. T AT = D = [6 0]
[1/√2 1/√2 ] [0 4]
: [ -1 -1 ][T2] = 0
: 得到 T = c1 [ 1] + c2 [-1] = [ 1 -1] <========= (1)
: [-1] [ 1] [-1 1]
: D = TAT^-1 = [ 6 0 ] <========= (2)
: [ 0 6 ]
: ---------------------------------------------------------------------
: (1)題目中的orthonormal矩陣T,我其實不知道在問什麼,
ortheonormal 為 TT^t = T^tT = I 且行向量長度為1
: 我是解讀成求特徵向量,所以用特徵向量解法計算,請問這觀念是否正確?
: 請問錯誤的話orthonormal矩陣T該如何求出呢?
由一般對角化的過程求出 只是要再將它單位化
: (2)這裡 對角矩陣 D 的 TAT^-1計算過程 我直接跳過,
: ￣￣￣￣￣￣￣
: 把求到的λ1與λ2代進對角線之中, 不按順序放入λ1與λ2,
: 此做法是否合宜? (λ皆為同數值情況下 or 非同數值情況下)
沒有固定哪個數字要先擺 除非題目有要求排序
只是特徵值擺放的順序會影響特徵向量的順序
: (3)說的是如果λ非同數值,則λ1放較大的數值嗎??
: ----------------------------------------------------------------------
: (b) Given the quadratic form X^T A X = Q where X = [X1,X2]^T ,
: prove that λ1 y1^2 +λ2 y2^2 = Q if y = T^-1 X ,where y =[y1,y2]^T
: -----------------------------------------------------------------
-1 -1
by (a) T AT = D => A=TDT
t t -1 -1 t
=> Q = X AX = X TDT X ( 注意到T為orthonormal => T = T )
t t
= (X T) D(T X)
t t t
= (T X) D(T X)
t
= y D y
=[y1 y2][λ1 0 ][y1]
[ 0 λ2][y2]
2 2
=λ y + λ y
1 1 2 2
: 我的計算過程如下:
: X^T = [X1,X2]
: 由(a)小題得知 A = [ 5 -1]
: [-1 5]
: [ 5 -1] [5 X1^2 - X2^2]
: X^T A X = [X1,X2] [-1 5] [X1,X2]^T = [- X1^2 +5 X2^2] <=========(4)
: 將(a)小題求得的T代入 y = T^-1 X
: T=[ 1 -1] y =[ 1 -1]^-1 X = 1/2 [1 1] X╮
: [-1 1] [-1 1] [1 1] ├ y = [y1 y1]
: │ [y2 y2]
: (把題目給的y代入上式) y = [y1,y2]^T ╯ ---------- X
: 2
: 由上式可得知 y1 = 1/2 , y2 = 1/2
: 將(a)小題求得的λ1,λ2 = 6 代入 λ1 y1^2 +λ2 y2^2 = Q
: 6 x y1^2 + 6 x y2^2 = 3
: -----------------------------------------------------
: (4)我算出λ1 y1^2 +λ2 y2^2 的 Q = 3 了
: 可是好像跟X^T A X 的 Q 沒相關性 ,請問我答案3就是題目要的答案嗎?
不對 因為你的T沒有orthonormal
: 因為這是連鎖題,感覺(a)錯了後面(b)就跟著錯了,寫的很沒把握
: -------------------------------------------------------
: (c) Identify the conic section 5X1^2 - 2X1X2 + 5X2^2 = 24 and plot the
: graph the conic section.
: 這題好像是畫直角座標系的圖,可是不知如何下筆
: 有勞版上朋友賜教了
這題就利用(b)的方法去坐就可以了
首先先把矩陣寫出來(是一個對稱矩陣 這樣就保証可以對角化，而這個矩陣就
是(a)的A矩陣) 然後利用(b)的步驟 最後寫成關於特徵值的2次式
就可以看出是哪種圓錐曲線
2 2 2 2
即 6y + 4y = 24 => y_1 + y_2
1 2 ----- ----- = 1
4 6
所以是一個橢圓 然後再利用T矩陣和旋轉矩陣的關系
可以得知旋轉角度為逆時針轉45度
最後就可以畫出圖型了
應該是這樣 有錯請指正
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※ 編輯: smartlwj 來自: 123.195.18.47 (03/23 21:29)
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