Re: [理工] [工數]-PDE
※ 引述《wdali (陣雨)》之銘言：
: 題目
: http://www.wretch.cc/album/show.php?i=gratempm&b=10&f=1360584188&p=3
: 想請問為何是Y適合做特徵展開?
: 另外為何由方程式可看出特徵函數??
: 順便問一下 看得出特徵函數的話 考試是可以直接用特徵函數展開
: 還是也必須先做變數分離(題目沒指定)
: 我看前面好像有人說不能直接用特徵函數展開 @@
雖然拉普拉式的解形式是可以猜的.
但我的習慣是奇怪的B.C.就都討論.
畢竟也不會花多少時間.卻能讓你的分數平平安安.
1.分離變數
let u=XY =>PDE
X'' Y''
---+---=0
X Y
2.討論BC
Y''+KY=0
Y'(0)=0
Y'(b)-rY(b)=0
For k>0 let k=w^2 ,w>0
Y=c1coswy+c2sinwy
Y'(0)=0
=>C2=0
Y'(b)-rY(b)=0=c1{-wsinwb-rcoswb}
=>tanwb=-r/w
=>w=α_n ,α_n為tanwb與-r/w之第n個根
=>c1≠0
=>Y=C1Cosα_ny
For k=0
Y=c1y+c2
Y'(0)=0
=>C1=0
Y'(b)-rY(b)=0
=>C2=0
For k<0 ,let k=-w^2 w>0
Y=c1sinhwy+c2coshwy
Y'(0)=0
=>c1=0
Y'(b)-rY(b)=c2{wsinhwb-rcoshwb}
=>tanhwb=?=r/w
如果直接用看的話,這邊就會出現問題.
因為這邊可能有一解!! (if r>0)
=>w=β 為tanhwb=r/w之根
=>c2≠0
故k=(α_n)^2 k=-β^2
Y=cosα_ny Y=c2coshβy
X''-KX=0 =>k=(α_n)^2 ,k=-β^2
X'(0)=0 X=dncoshα_nx ,X=d0cosβx
3.總結
∞
u=A0cosβxcoshβy + sumAncoshα_nxcosα_ny
n=1
∞
ux(a,y)=γ=-A0βsinβacoshβy + sumAnα_nsinhα_nacosα_ny
n=1
<γ,coshβy>
-A0βsinβa=------------------
<coshβy,coshβy>
<γ,cosα_ny>
Anα_nsinhα_na=-------------------
<cosα_ny,cosα_ny>
4.把值算出來帶回去,就可以了
以上有錯請指正m(_ _)m
大家新年快樂 :)
繼續來摸個幾圈XD
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只要不斷追問,就能找到答案.
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