Re: [理工] [工數]-傅利葉轉換
※ 引述《cccoco (危機感)》之銘言：
: 當f(x) 在 -∞ < x < ∞ 絕對可積分
: ∞ -iwx ∞ -iwx ∞
: |F[f(x)]| = | ∫ f(x) e dx | ≦ ∫ |f(x) e | dx = ∫ |f(x)| dx
: -∞ -∞ -∞
: 請問上述過程的 最後一個等號如何得知的?
: 為什麼可以取範數？
: 謝謝
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這個問題是直接套 一個積分性質 (還是某某定理，不太清楚QQ) :
b b
｜∫ f(x) dx｜ ≦ ∫ ｜f(x)｜ dx , f(x) is a complex function
a a and b>a (a、b 屬於 R)
它在 f(x) 是實數函數時很好證明(我記得微積分有這個不等式)
到了複數空間上
這個性質也一樣被繼承下來
差別在於這裡的絕對值是 複數定義下的絕對值
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大概簡略說一下証明方式 (不是很嚴謹XD)
lemma 1:
｜z1｜ + ｜z2｜ ≧ ｜z1 + z2｜
這個不等式對應複數座標上
就是 "三角不等式": 三角形任兩邊和 ＞ 第三邊
應該不難證明
lemma 2:
n n
Σ｜z_i｜ ≧ ｜ Σ z_i｜
i=1 i=1
直接用 lemma 1 的結果就能得證了
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回到原來的題目
直接套定積分的原始定義:
b n
∫ f(x) dx ≡ lim Σ f(x_i)*△x , where △x = (b-a)/n
a n→∞ i=1 x_i 屬於 [(i-1)*△x , i△x ]
b ∞
所以 ｜∫ f(x) dx｜ = ｜ Σ f(x_i)*△x ｜
a i=1
∞
≦ Σ ｜f(x_i)*△x｜ by lemma 2
i=1
∞
= Σ ｜f(x_i)｜* △x ( 注意 △x>0 )
i=1
b
≡ ∫ ｜f(x)｜ dx
a
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◆ From: 140.113.141.151
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