Re: [問題] [微積]-請問梯度散度和旋度的最初定義

看板Grad-ProbAsk作者ntust661 (661)時間16年前 (2009/12/14 16:20)推噓3(3推 0噓 2→)

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以上是我很久以前導的旋度定理但有人說我錯很大他說以下有式子不能無緣無故消去，我也覺得很奇怪，我是哪裡推導錯誤了呢? ※ [本文轉錄自 Physics 看板] 作者: ntust661 (661) 看板: Physics 標題: Re: [問題] 請問梯度散度和旋度的最初定義時間: Wed Dec 2 00:37:01 2009 來講旋度純粹討論二維度的旋度旋度，代表的是 (1)環流密度 (2)向量場的旋轉趨勢。在向量場中，我要開始找他的"旋度" 那要如何判別渦漩的大小呢? 就是看他一整圈流量積分(Flow)的大小而定 Flow Integral → → ∫ F ‧ T ds = 流量大小 c F 向量場 T 單位切線向量 ds 微小的曲線段 c 積分路徑它的物理意義，你想想看，水槽開始放水，你在水流中想像一個圓圈，是不是大部分(幾乎)的水流都會與你的圓圈"相切"呢? 再想一個，水龍頭的水往下落，到水槽的時候，會往外散開你想像一個圓圈，會發現水的流向與圓圈不相切(大部分是互相垂直)，這時候是不是沒有看到水在"旋轉"呢? 這時候看看流量原始的定義，我既然是與曲線相切的方向才會保留下來那保留下來的越多，代表順著曲線的流量越大，現在把曲線封起來成一個封閉曲線。是不是發現，流量越大，轉的趨勢會越大。現在，"旋度"這個東西我要從以上所描述的意義開始導出他的樣子。目標 : 計算旋度 (Curl) 已知 (1) 左下角我設為原點(x,y) (2) 微小單位的長度代表 Δx ，寬度代表 Δy (3) 向量場 F = < P(x,y) i + Q(x,y) j > (4) 逆時針為正圖形 ← (x,y+Δy) (x+Δx,y+Δy) ┌───┐ │ │Δy ↓ │ │ ↑ └───┘ (x,y) Δx (x+Δx,y) → 很簡單，既然是個不平滑的曲線，就分段來做。 Flow 總流量會等於以下的總和。 total -------------------------- Flow 頂部的流量 top + Flow 底部的流量 bottom + Flow 左邊的流量 left + Flow 右邊的流量 right --------------------------- 先計算底部流量定義 → → ∫ F‧T ds c 現在曲線 c 是條直線，然後因為 i 方向與底線平行，所以只留下 i 方向 P 則底部的流量 = P(x,y) Δx 其他依此類推得到底部流量 P(x,y) Δx 頂部流量 - P(x+Δx,y+Δy)Δx 右邊流量 Q(x+Δx,y) Δy 左邊流量 - Q(x,y+Δy)Δy 放一起， - P(x+Δx,y+Δy) Δx + P(x,y) Δx + Q(x+Δx,y) Δy - Q(x,y+Δy) Δy 這時候加 P(x,y+Δy) 減 P(x,y+Δy) 加 Q(x+Δx,y+Δy) 減 Q(x+Δx,y+Δy) 會變成 d P d P d Q d Q ( - ─── Δx - ─── Δy ) Δx + ( ─── Δx - ─── Δy ) Δy d x d y d x d y Δx 逼近趨近於零變成 dx Δy 逼近趨近於零變成 dy dxdx dydy 的項小到不能在小...所以消掉。剩下的就會變成 d Q d P ( ─── - ─── ) dx dy d x d y 這時候除以微小面積 dA = dx dy 就會變成你原本單純積分出來環流除面積 = 環流密度環流密度也就是旋度，所以你大概可以知道旋度的意義了吧? PS 有很多我還沒有說，現階段知道這些就夠了吧@.@~ -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.118.234.83

推

Sakurai5566

12/02 01:15,

12/02 01:15

→

kenny2963

12/02 01:44,

12/02 01:44

推

chendaolong

12/02 07:47,

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