Re: [請益] 指對數函數對稱於45度直線教法
※ 引述《iddee ()》之銘言：
: 座標平面上，若 a > 0 且 a 不等於 1，則：
: 指數函數 y = a^x 與對數函數 y = log_a(x) 圖形對稱於直線 y=x
: 想請教一下這裡大家的教法，我自己是想了幾個
: 1. 敘述完命題後把圖畫出來，稍微解釋一下然後把其中一個函數圖形沿45度直線
: 折過去剛好與另一個圖形重疊，完畢。但自己覺得很虛，因為跳過證明，你圖
: 又不一定畫的準，但是對某類學生似乎較好理解？
: 2. 對學生們證明一下，取對數圖形上一點 (s,t)，則 t = log_a(s) => a^t = s
: ，故 (t,s) 是指數圖形上一點，接著易證此兩點所連成之直線斜率為 -1，
: 且兩點之中點 ((s+t)/2 , (t+s)/2) 落在直線 y=x 上，故此兩點對稱於 y=x
: ，因 (s,t) 是任意的故整個對數圖形會對稱 y=x 於指數圖形，反之亦然。
: 但我怕只有一兩個聽的懂，ORZ。
: 想請教一下板上前輩上述的證明對於高一生接受度如何呢？
: 教了一陣子發現正確的證明學生都聽不懂，但簡短白話卻錯誤的說法學生反而卻能理解，
: 比如講牛頓一次因式檢驗法，若 (ax-b)|(n次整係數多項式) 會有 a | a_n, b | a_0，
: 正確的證明其實有點難，講了幾乎都不懂，但如果舉例子:
: 3x^5 + ... + x + 2 如果可以因式分解成 (x-2)(3x^4 + ... + 1)
: 那不是 1*3 = 3 且 2*1 = 2，這就是牛頓法，學生懂了......
: (可是括號裡面...有可能是分數係數，ORZ)
先講點的對稱
如果將(a,b)對稱x=y這條直線的話 會變成(b,a)
這個直接往X Y軸畫兩個全等的直角三角形 就可以說明 不需要推導直線
推導直線會變得太複雜 反而模糊焦點
然後再講函數
y=loga x 去對數之後 變成 x=a^y
跟y=a^x x,y對調
再搭配上面x,y坐標對調會對稱x=y這個直線
就可以說明圖形的對稱
再去帶出反函數的概念 自變數變應變數 應變數變自變數
我這幾年都是用這個方法 接受度滿高的
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