[分享] 多項式求解

看板CS_TEACHER作者unknownrain (我布貞契德笑了XD)時間15年前 (2010/11/18 23:58)推噓6(6推 0噓 15→)

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前因:因為許多的學生這個地方會有混淆的狀況，所以在這邊做了一個小小的心得整理分享。多項式方程式(高中題型) f(x) = ax^2 + bx + c ※這邊要注意方程式的係數（解題關鍵） 1.如果這邊a,b,c等於實數，屬於R，例如 x^2 - 2x + 2 = 0 則如果有虛根，就可以知道這個會有共軛虛根，如果知道其中一解為 1+i，就可以推出另外一根為1-i 例：a,b屬於R，X^3-aX^2+b = 0 ，有一根為1-i，則此方程式之唯一實根為______________ ※解題想法(因為a,b都屬於R於是此多項式為實數係多項式，有共軛虛根，推得另外一根為1-i) 可以推之 X= 1±i （將i給消除，逆配方法） X-1 = ±i (兩邊平方) X^2 - 2x + 1 = -1 X^2 - 2x + 2 = 0 (因為X^3 - aX^2 + b 其因式) 算出實根的方法就是將其用長除法相除，解出另外一個因式，就為實數解（因為如果為虛根就會重複，而超過X^3的項有的最多X的根，變成四個根，不合） 1 + 1 ________________________ 1-2+2 | 1 -a + 0 + b | 1 -2 + 2 _________________________ (-a+2) -2 b 1 -2 2 _________________________ -a+1 0 b-2 ※這邊因為前面的推論，除出來的因式絕對是此方程式的因式，所以餘式一定要餘0，而我在商的部份做了一個簡化，如果將此商帶入 X + (-a+1) 然後餘式各項係數都要等於零，也可以列出方程式。於是f(x) = (x^2 - 2x + 2 ) (x + 1) = 0 於是實數解為 x + 1 = 0 => x = -1 2.如果a , b, c不屬於實數，則沒有共軛虛根，不可以直接a+bi，就推出另外一根為a-bi。例：若 2 - i 為 x^2 + ax - 3 = 0 之一根，則a = ? ※此時a為未知數，並不能確定是否是實數，於是不可以直接將2 + i 當作另外一組解，這邊學生很容易錯誤。此題解法最直接的方式就是將2 - i 帶入方程式整理。 ( 2- i)^2 + a (2 - i) - 3 = 0 4 - 4i - 1 + 2a - ai -3 = 0 2a - ai - 4i = 0 (這邊有學生使用兩邊平方去i的方法，不過會有增根的問題，後來需要判斷兩個根哪一個會符合，可以算出來不過會花很多時間，且容易忘掉會有不合的狀況。) 因為題目要求得是a，所以可以直接將a放在一邊，則a的係數都放到等號右邊 (等於解方程式) a ( 2 - i) - 4 i = 0 a = 4i ___ 2-i a = 4i (2+ i) ______________ (2- i)(2 + i) a = 8i -4 _____ 4+ 1 a = -4/5 + 8i/5 《結論》遇到一個實數係數方程式，可以直接用共軛虛根或帶入法來解。遇到一個未知係數方程式，則不能使用共軛虛根的方式來速解，得要使用直接帶入，或者可以假設(x - a)(x - b)展開求原方程式，小弟在此獻醜了。 ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.254.194.210

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o0i9u8y7

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推

waaa

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unknownrain

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