[請益] 微積分詳解上的洛耳(爾)定理
這是我上知識+得到的結果...
===========================以下為複製貼上結果==========================
Rolle's thmeorem
1. 設函數f定義在[a,b]且連續
2. f'在(a,b)存在
3. f(a)=f(b)
滿足上式，則有
存在一點c在(a,b)使得f'(c)=0
<pf>
用反証法。
假設函數f滿足Rolle's thm.條件1~3但f'不等於0
因為f在[a,b]連續
所以f在[a,b]有極大值(M)與極小值(m)
又因為f'在 (a,b)存在且不為0
故M與m為f(a)與f(b)
因為f(a)=f(b)
則f在[a,b]為constant(矛盾)
Lagrange's mean value theorem
1. 設函數f定義在[a,b]且連續
2. f'在(a,b)存在
滿足上式，則有
存在一點c在(a,b)使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 或 f'(c)=f(b)-f(a)/b-a
<pf>
令 F(x)=f(x)-{f(b)-f(a)/b-a}x , x佈於[a,b]之間
clearly,F is conti. on [a,b]
F'存在且F'(x)=f'(x)-f(b)-f(a)/b-a , x佈於[a,b]之間
又F(a)=F(b)
因此,F滿足Rolle's thm.條件
則
存在一點c佈於(a,b)之間，使得F'(c)=f'(C)-f(b)-f(a)/b-a=0
ie, f'(c)=f(b)-f(a)/b-a
亂寫一通，寫的不好請指教^^"
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有興趣的人可以看看喔~
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